算法打卡day21|回溯法篇01|理论知识，Leetcode 77.组合

回溯法理论知识

回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。所以回溯函数也就是递归函数，指的都是一个函数。

回溯法的效率

回溯法并不是什么高效的算法。因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质。

既然回溯法并不高效为什么还要用它呢？因为没得选，一些问题能暴力搜出来就不错了，撑死了再剪枝一下，还没有更高效的解法。

回溯法解决的问题

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独等等

以上每个问题，都不简单！

如何理解回溯法

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构。因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

回溯法模板

这里给出卡哥总结的回溯算法模板。

回溯三部曲：

1.回溯函数模板返回值以及参数

在回溯算法中，函数起名字为backtracking，回溯算法中函数返回值一般为void。

再来看一下参数，因为回溯算法需要的参数可不像二叉树递归的时候那么容易一次性确定下来，所以一般是先写逻辑，然后需要什么参数，就填什么参数。

2.回溯函数终止条件

既然是树形结构，遍历树形结构一定要有终止条件。一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。

3.回溯搜索的遍历过程

回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。

for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。

分析完过程，回溯算法模板框架如下：

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}

算法题

Leetcode 77. 组合

题目链接:77. 组合

大佬视频讲解：组合视频讲解

个人思路

组合问题就是不能使得结果重复，只能暴力解法，使用递归循环再加回溯来解决。

解法

先回顾一下组合和排列。组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序。

例如：{1, 2} 和 {2, 1} 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，{1, 2} 和 {2, 1} 就是两个集合了。

记住组合无序，排列有序，就可以了。

回溯法

把组合问题抽象为如下树形结构

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。所以输入的n相当于树的宽度，k相当于树的深度。每次搜索到了叶子节点，就找到了一个结果。所以把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

回溯法三部曲

1.递归函数的返回值以及参数

在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k个数，那么n和k是两个int型的参数。

然后还需要一个参数，为int型变量startIndex；startIndex用来记录下一层递归，搜索的起始位置，来防止出现重复的组合。

从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。

2.回溯函数终止条件

到达叶子节点就找到一个结果，即path这个数组的大小如果达到k，说明找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。

3.单层搜索的过程

回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程

在上图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。而backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。

class Solution {List<List<Integer>> result= new ArrayList<>();LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {backtracking(n,k,1);return result;}//startIndex 用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历public void backtracking(int n,int k,int startIndex){if (path.size() == k){//终止条件result.add(new ArrayList<>(path));return;}for (int i =startIndex;i<=n;i++){//横向遍历path.add(i);//加入结果集backtracking(n,k,i+1);//递归:纵向遍历path.removeLast();//回溯}}
}

时间复杂度:O(n * 2^n))；（循环n个元素，2^n表示所有可能的子集数量）

空间复杂度:O(n);（递归栈的深度最多为 n）

上面代码和这个模板基本一样,这就是后续做回溯法的模板代码了！

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}

回溯剪枝优化

如何优化得画图来看。举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

图中每一个节点，就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。如果for循环选择的起始位置之后的元素个数已经不足题目需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

注意以下代码中的i，就是for循环里选择的起始位置。

接下来看一下优化过程如下：

已经选择的元素个数：path.size();

还需要的元素个数为: k - path.size();

在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

这样之所以需要+1，是因为包括起始位置，需要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3，目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。那么从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

class Solution {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {combineHelper(n, k, 1);return result;}//startIndex用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){//终止条件if (path.size() == k){result.add(new ArrayList<>(path));return;}for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){path.add(i);//加入结果集combineHelper(n, k, i + 1);//递归path.removeLast();//回溯}}
}