0. 介绍

传统算$a^b$需要$b-1$次，快速幂将$b$分解成$2$进制的形式简化为$lo{g}_2(b)$次

1. 实现

将$b$化为2进制位的形式。
b = ∑ i = 0 n c i × 2 i , c i ∈ { 0 , 1 } b=\sum_{i=0}^{n}c_i \times2^i, c_i \in \{0,1\} b=i=0∑n​ci​×2i,ci​∈{0,1}

$$\begin{gathered} a^b=a^{{\sum }_{i=0}^n{c}_i\times 2^i} \\ {a}^b=a^{2^{k1}}\ast a^{2^{k_2}}.... \end{gathered}$$
又有

$$a^{2^3}=a^{2^2}\times a^{2^2}$$

所以我们可以从底往上进行递推。

• 代码

long long fast_pow(long long a,unsigned long long b,long long MOD) {long long base = a%MOD;long long ans = 1;while (b) {if (b & 1) ans = ans * base % MOD; b >>= 1;if (b)base = base  * base % MOD;}return ans % MOD ;}