一.概述
RMQ问题,是求区间最大值或最小值,即范围最值问题。
暴力解法是对每个询问区间循环求解,设区间长度n,询问次数m,则复杂度是O ( nm )。
一般还可以使用线段树求解,复杂度是O(mlogn)。
但还有一种更简便的ST算法,预处理复杂度是O(nlogn),查询O(1)。
二.ST(Sparse Table)算法
它适用于静态空间的RMQ查询。
给定长度为n的静态数列,做m次询问,每次给定,查询区间[L,R]内的最值。
原理:一个大区间若能被两个小区间覆盖,那么大区间的最值等于两个小区间的最值。(小区间有重合不影响结果)
基本思路:
1)把整个数列划分为很多小区间,并提前计算出每个小区间的最值。
按照倍增分成小区间。
每组小区间的最值,都可以从前一组递推得来。
设dp[i][j]表示第i处开始的个数字的最值,i是开始位置,j是延伸长度,dp[i][0]是原数组a[i]本身,即边界。
状态转移方程:
这里其实就是把一个区间划分为了两个小区间,通过小区间获得最值。
计算出所有小区间的最值,复杂度为:每一组都需要计算n次,一共有组
时间复杂度为:O(nlogn)
2)对任意一个区间最值查询,找到覆盖它的两个小区间,用两个小区间的最值计算。
以任意元素为起点,有长度为1、2、4、……的小区间,以任意元素为终点,也有长度为1、2、4、……的小区间。
可以将待查询区间[L,R]分为两个小区间,让这两个小区间覆盖[L,R]。一次查询的时间复杂度为:O(1)。
区间长度为len=R-L+1
令,小区间的长度为x。
三.实战演练
//ST算法 区间最大值
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N=5e5+10;
long long dp[N][20];
int n,q;long long lca(int l,int r){int x=0;while(l+(1<<(x+1))<=r){x++;}return max(dp[l][x],dp[r-(1<<x)+1][x]);
}int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin>>n>>q;//构造dp数组for(int i=1;i<=n;i++){cin>>dp[i][0];}for(int j=1;j<20;j++){for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);}}for(int i=0;i<q;i++){int x,y;cin>>x>>y;cout<<lca(x, y)<<'\n';}return 0;
}