堆

堆是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为下图所示的两种类型。

• 大顶堆：任意节点的值 ≥ 其子节点的值。
• 小顶堆：任意节点的值 ≤ 其子节点的值。

堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性。

• 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
• 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
• 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（即根节点）的值分别是最大（最小）的。

常用操作

许多编程语言提供的是优先队列，这是一种抽象数据结构，定义为具有优先级排序的队列。实际上，堆通常用作实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小顺序出队的优先队列。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。

堆的常用操作见下表 ，方法名需要根据编程语言来确定。

方法名	描述	时间复杂度
push()	元素入堆	O(log⁡n)
pop()	堆顶元素出堆	O(log⁡n)
peek()	访问堆顶元素（大 / 小顶堆分别为最大 / 小值）	O(1)
size()	获取堆的元素数量	O(1)
isEmpty()	判断堆是否为空	O(1)

Python：

# 初始化小顶堆
min_heap, flag = [], 1
# 初始化大顶堆
max_heap, flag = [], -1# Python 的 heapq 模块默认实现小顶堆
# 考虑将“元素取负”后再入堆，这样就可以将大小关系颠倒，从而实现大顶堆
# 在本示例中，flag = 1 时对应小顶堆，flag = -1 时对应大顶堆# 元素入堆
heapq.heappush(max_heap, flag * 1)
heapq.heappush(max_heap, flag * 3)
heapq.heappush(max_heap, flag * 2)
heapq.heappush(max_heap, flag * 5)
heapq.heappush(max_heap, flag * 4)# 获取堆顶元素
peek: int = flag * max_heap[0] # 5# 堆顶元素出堆
# 出堆元素会形成一个从大到小的序列
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 5
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 4
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 3
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 2
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 1# 获取堆大小
size: int = len(max_heap)# 判断堆是否为空
is_empty: bool = not max_heap# 输入列表并建堆
min_heap: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4]
heapq.heapify(min_heap)

Go：

// Go 语言中可以通过实现 heap.Interface 来构建整数大顶堆
// 实现 heap.Interface 需要同时实现 sort.Interface
type intHeap []any// Push heap.Interface 的方法，实现推入元素到堆
func (h *intHeap) Push(x any) {// Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作为参数// 因为它们不仅会对切片的内容进行调整，还会修改切片的长度。*h = append(*h, x.(int))
}// Pop heap.Interface 的方法，实现弹出堆顶元素
func (h *intHeap) Pop() any {// 待出堆元素存放在最后last := (*h)[len(*h)-1]*h = (*h)[:len(*h)-1]return last
}// Len sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Len() int {return len(*h)
}// Less sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {// 如果实现小顶堆，则需要调整为小于号return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
}// Swap sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Swap(i, j int) {(*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
}// Top 获取堆顶元素
func (h *intHeap) Top() any {return (*h)[0]
}/* Driver Code */
func TestHeap(t *testing.T) {/* 初始化堆 */// 初始化大顶堆maxHeap := &intHeap{}heap.Init(maxHeap)/* 元素入堆 */// 调用 heap.Interface 的方法，来添加元素heap.Push(maxHeap, 1)heap.Push(maxHeap, 3)heap.Push(maxHeap, 2)heap.Push(maxHeap, 4)heap.Push(maxHeap, 5)/* 获取堆顶元素 */top := maxHeap.Top()fmt.Printf("堆顶元素为 %d\n", top)/* 堆顶元素出堆 */// 调用 heap.Interface 的方法，来移除元素heap.Pop(maxHeap) // 5heap.Pop(maxHeap) // 4heap.Pop(maxHeap) // 3heap.Pop(maxHeap) // 2heap.Pop(maxHeap) // 1/* 获取堆大小 */size := len(*maxHeap)fmt.Printf("堆元素数量为 %d\n", size)/* 判断堆是否为空 */isEmpty := len(*maxHeap) == 0fmt.Printf("堆是否为空 %t\n", isEmpty)
}

堆的实现

下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 ≥ 替换为 ≤ ）。

存储与表示

完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，将采用数组来存储堆。当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。

如下图所示，给定索引i ，其左子节点索引为 2i+1 ，右子节点索引为 2i+2 ，父节点索引为 (i−1)/2（向下取整）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。

将索引映射公式封装成函数，方便后续使用。

Python：

def left(self, i: int) -> int:"""获取左子节点索引"""return 2 * i + 1def right(self, i: int) -> int:"""获取右子节点索引"""return 2 * i + 2def parent(self, i: int) -> int:"""获取父节点索引"""return (i - 1) // 2  # 向下整除

Go：

/* 获取左子节点索引 */
func (h *maxHeap) left(i int) int {return 2*i + 1
}/* 获取右子节点索引 */
func (h *maxHeap) right(i int) int {return 2*i + 2
}/* 获取父节点索引 */
func (h *maxHeap) parent(i int) int {// 向下整除return (i - 1) / 2
}

访问堆顶元素

堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素。

Python：

def peek(self) -> int:"""访问堆顶元素"""return self.max_heap[0]

Go：

/* 访问堆顶元素 */
func (h *maxHeap) peek() any {return h.data[0]
}

元素入堆

给定元素 val ，首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可*其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为堆化。考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。如下图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。

设节点总数为n ，则树的高度为 n(log⁡n) 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 O(log⁡n) ，元素入堆操作的时间复杂度为 O(log⁡n) 。

Python：

def push(self, val: int):"""元素入堆"""# 添加节点self.max_heap.append(val)# 从底至顶堆化self.sift_up(self.size() - 1)def sift_up(self, i: int):"""从节点 i 开始，从底至顶堆化"""while True:# 获取节点 i 的父节点p = self.parent(i)# 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化if p < 0 or self.max_heap[i] <= self.max_heap[p]:break# 交换两节点self.swap(i, p)# 循环向上堆化i = p

Go：

/* 元素入堆 */
func (h *maxHeap) push(val any) {// 添加节点h.data = append(h.data, val)// 从底至顶堆化h.siftUp(len(h.data) - 1)
}/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
func (h *maxHeap) siftUp(i int) {for true {// 获取节点 i 的父节点p := h.parent(i)// 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化if p < 0 || h.data[i].(int) <= h.data[p].(int) {break}// 交换两节点h.swap(i, p)// 循环向上堆化i = p}
}

元素出堆

堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，采用以下操作步骤：

1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）。
2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）。
3. 从根节点开始，从顶至底执行堆化。

如下图所示，“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。

与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为O(log⁡n) 。

Python：

def pop(self) -> int:"""元素出堆"""# 判空处理if self.is_empty():raise IndexError("堆为空")# 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）self.swap(0, self.size() - 1)# 删除节点val = self.max_heap.pop()# 从顶至底堆化self.sift_down(0)# 返回堆顶元素return valdef sift_down(self, i: int):"""从节点 i 开始，从顶至底堆化"""while True:# 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 mal, r, ma = self.left(i), self.right(i), iif l < self.size() and self.max_heap[l] > self.max_heap[ma]:ma = lif r < self.size() and self.max_heap[r] > self.max_heap[ma]:ma = r# 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出if ma == i:break# 交换两节点self.swap(i, ma)# 循环向下堆化i = ma

Go：

/* 元素出堆 */
func (h *maxHeap) pop() any {// 判空处理if h.isEmpty() {fmt.Println("error")return nil}// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）h.swap(0, h.size()-1)// 删除节点val := h.data[len(h.data)-1]h.data = h.data[:len(h.data)-1]// 从顶至底堆化h.siftDown(0)// 返回堆顶元素return val
}/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
func (h *maxHeap) siftDown(i int) {for true {// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 maxl, r, max := h.left(i), h.right(i), iif l < h.size() && h.data[l].(int) > h.data[max].(int) {max = l}if r < h.size() && h.data[r].(int) > h.data[max].(int) {max = r}// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出if max == i {break}// 交换两节点h.swap(i, max)// 循环向下堆化i = max}
}

常见应用

• 优先队列：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 O(log⁡n) ，而建队操作为 O(n) ，这些操作都非常高效。
• 堆排序：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。在后续写排序的文章会讲到。
• 获取最大的k个元素：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。

建堆操作

在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。

自上而下构建

我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。

每当一个元素入堆，堆的长度就加一，因此堆是“自上而下”地构建的。

设元素数量为n，每个元素的入堆操作使用O(log⁡n) 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 O(nlog⁡n) 。

自下而上构建

实际上，可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。

1. 将列表所有元素原封不动添加到堆中。
2. 倒序遍历堆（即层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。

在倒序遍历中，堆是“自下而上”地构建的，需要重点理解以下两点。

• 由于叶节点没有子节点，因此无需对它们执行堆化。最后一个节点的父节点是最后一个非叶节点。
• 在倒序遍历中，我们能够保证当前节点之下的子树已经完成堆化（已经是合法的堆），而这是堆化当前节点的前置条件。

Python：

def __init__(self, nums: list[int]):"""构造方法，根据输入列表建堆"""# 将列表元素原封不动添加进堆self.max_heap = nums# 堆化除叶节点以外的其他所有节点for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):self.sift_down(i)

Go：

/* 构造函数，根据切片建堆 */
func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {// 将列表元素原封不动添加进堆h := &maxHeap{data: nums}for i := h.parent(len(h.data) - 1); i >= 0; i-- {// 堆化除叶节点以外的其他所有节点h.siftDown(i)}return h
}

经过某种复杂的推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为O(n) ，非常高效。也就是说自下而上的构建效率高于自上而下的构建效率。

TOP-K问题

Question：

给定一个长度为n无序数组 nums ，请返回数组中前k大的元素。

对于该问题，介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。

遍历选择

可以进行下图所示的k轮遍历，分别在每轮中提取第 1、2、…、k 大的元素，时间复杂度为O(nk)。此方法只适用于k≪n的情况，因为当k与n比较接近时，其时间复杂度趋向于 O(n^2) ，非常耗时。

Python：

def findKthLargest(nums, k):result = []for i in range(k):max_num = max(nums)result.append(max_num)nums.remove(max_num)return result

Go：

func findKthLargest(nums []int, k int) []int {result := make([]int, k)for i := 0; i < k; i++ {max := nums[0]index := 0for i, num := range nums {if num > max {max = numindex = i}}result[i] = maxnums = append(nums[:index], nums[index+1:]...)}return result
}

当 k=n 时，可以得到完整的有序序列，此时等价于“选择排序”算法。

排序

我们可以先对数组 nums 进行排序，再返回最右边的k个元素，时间复杂度为 O(nlog⁡n) 。显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需要找出最大的k个元素即可，而不需要排序其他元素。

Python：

def findKthLargest(nums, k):nums.sort(reverse=True)return nums[:k]

Go：

func findKthLargest(nums []int, k int) []int {sort.Sort(sort.Reverse(sort.IntSlice(nums)))return nums[:k]
}//或者
func findKthLargest(nums []int, k int) []int {sort.Slice(nums, func(i, j int) bool {return nums[i] > nums[j]})return nums[:k]
}

堆

我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题：

1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
2. 先将数组的前k个元素依次入堆。
3. 从第k+1 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大的k个元素。

总共执行了n轮入堆和出堆，堆的最大长度为k，因此时间复杂度为 O(nlog⁡k) 。该方法的效率很高，当 k 较小时，时间复杂度趋向 O(n) ；当 k 较大时，时间复杂度不会超过 O(nlog⁡n) 。另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，可以持续维护堆内的元素，从而实现最大k个元素的动态更新。

Python：

def top_k_heap(nums: list[int], k: int) -> list[int]:"""基于堆查找数组中最大的 k 个元素"""heap = []# 将数组的前 k 个元素入堆for i in range(k):heapq.heappush(heap, nums[i])# 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 kfor i in range(k, len(nums)):# 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆if nums[i] > heap[0]:heapq.heappop(heap)heapq.heappush(heap, nums[i])return heap

Go：

/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
func topKHeap(nums []int, k int) *minHeap {h := &minHeap{}heap.Init(h)// 将数组的前 k 个元素入堆for i := 0; i < k; i++ {heap.Push(h, nums[i])}// 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 kfor i := k; i < len(nums); i++ {// 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆if nums[i] > h.Top().(int) {heap.Pop(h)heap.Push(h, nums[i])}}return h
}