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1. 题目

给你两个整数，被除数 $dividend$ 和除数 $divisor$。将两数相除，要求 不使用 乘法、除法和取余运算。

整数除法应该向零截断，也就是截去（$truncate$）其小数部分。例如，$8.345$ 将被截断为 $8$ ，$-2.7335$ 将被截断至 $-2$。

返回被除数 $dividend$ 除以除数 $divisor$ 得到的 商 。

注意：假设我们的环境只能存储 $32$ 位 有符号整数，其数值范围是 $[-2^{31},2^{31}-1]$ 。本题中，如果商 严格大于 $2^{31}-1$ ，则返回 $2^{31}-1$ ；如果商 严格小于 $-2^{31}$ ，则返回 $-2^{31}$ 。

示例 1:

输入: $dividend=10,divisor=3$
输出: $3$
解释: $10/3=\mathrm{3.33333..}$，向零截断后得到 $3$。

示例 2:

输入: $dividend=7,divisor=-3$
输出: $-2$
解释: $7/-3=-\mathrm{2.33333..}$ ，向零截断后得到 $-2$。

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提示：

• $-2^{31}<=dividend,divisor<=2^{31}-1$
• $divisor\ne 0$

2. 思路及代码实现详解（Python）

由于题目规定了「只能存储 $32$ 位整数」，因此不能使用任何 $64$ 位整数，尽管这会极大增加我们编码难度。对于可能造成溢出的问题，在编码之前，需要先对于溢出或者容易出错的边界情况进行讨论，即在某一边界上，继续进行操作后会溢出，这个边界取决于我们会采取何种操作：

• 当被除数为 $32$ 位有符号整数的最小值 $-2^{31}$ 时：
  • 如果除数为 $1$，那么我们可以直接返回答案 $-2^{31}$；
  • 如果除数为 $-1$，那么答案为 $2^{31}$，这时结果产生了溢出。此时我们需要返回 $2^{31}-1$；
• 当除数为 $32$ 位有符号整数的最小值 $-2^{31}$ 时：
  • 如果被除数同样为 $-2^{31}$，那么我们可以直接返回答案 $1$；
  • 对于其余的情况，我们返回答案 $0$，因为得到的商不大于 $1$ 时截断小数部分得到 $0$。
• 当被除数为 $0$ 时，不论除数是多少，都直接返回答案 $0$。

对于其他的一般情况，根据除数和被除数的符号，我们需要考虑 $4$ 种不同的符号组合。因此，为了方便编码，我们可以将被除数或者除数取相反数，使得它们符号相同。

• 如果将被除数和除数都变为正数，那么可能会导致溢出。例如当被除数为 $-2^{31}$ 时，它的相反数 $2^{31}$ 产生了溢出。
• 如果将被除数和除数都变为负数，这样在取相反数时就不会有溢出的问题，而结果溢出也只有 $(-2^{31})/(-1)$ 这种情况。

如果我们恰好只将被除数和除数中的一个变为了正数，那么在返回答案之前，我们需要对答案也取相反数。

2.1 位运算与二分查找

上面的讨论考虑了数值溢出的问题，以及几种可以直接返回结果的特殊情况。我们记被除数为 $X$，除数为 $Y$，且此时两者都被我们转为负数，我们要求的是 $X/Y$ 的结果 $Z$，显然，$Z$ 的值一定为整数或 $0$。

因为 $Y$ 为负值，随着 $Z$ 增大乘积减小，容易得到：$Z\times Y\ge X>(Z+1)\times Y$，因此我们求商就是找到最大的使得 $Z\times Y>X$ 成立的 $Z$。而由于不能使用乘法运算，就需要用到快速乘的算法。其实就是通过二分查找和位移运算来实现所谓的 乘法，但其本质是加法的快速运算和判断。

具体的代码如下，判断不等式的次数为 $O(logC)$，而判断函数的搜索范围是 $32$ 位整数的全部范围，最差情况下也要 $O(logC)$ 的判断次数，因此总的时间复杂度为 $O(lo{g}^{2}C)$，而空间复杂度为 $O(1)$，仅存储若干的上下界信息。

class Solution:def divide(self, dividend: int, divisor: int) -> int:INT_MIN, INT_MAX = -2**31, 2**31 - 1# 考虑被除数为最小值的情况if dividend == INT_MIN:if divisor == 1:return INT_MINif divisor == -1:return INT_MAX# 考虑除数为最小值的情况if divisor == INT_MIN:return 1 if dividend == INT_MIN else 0# 考虑被除数为 0 的情况if dividend == 0:return 0# 一般情况，使用二分查找# 将所有的正数取相反数，这样就只需要考虑一种情况rev = Falseif dividend > 0:dividend = -dividendrev = not revif divisor > 0:divisor = -divisorrev = not rev# 快速乘def quickAdd(y: int, z: int, x: int) -> bool:# x 和 y 是负数，z 是正数# 需要判断 z * y >= x 是否成立result, add = 0, ywhile z > 0:if (z & 1) == 1:    # 需要保证 result + add >= xif result < x - add:return Falseresult += addif z != 1:# 需要保证 add + add >= xif add < x - add:return Falseadd += add# 不能使用除法，退位z >>= 1return Trueleft, right, ans = 1, INT_MAX, 0while left <= right:# 注意溢出，并且不能使用除法mid = left + ((right - left) >> 1)check = quickAdd(divisor, mid, dividend)if check:ans = mid# 注意溢出if mid == INT_MAX:breakleft = mid + 1else:right = mid - 1return -ans if rev else ans

执行用时：45 ms
消耗内存：16.45 MB

题解来源：力扣官方题解