【LetMeFly】2312.卖木头块:动态规划(DP)
力扣题目链接:https://leetcode.cn/problems/selling-pieces-of-wood/
给你两个整数 m
和 n
,分别表示一块矩形木块的高和宽。同时给你一个二维整数数组 prices
,其中 prices[i] = [hi, wi, pricei]
表示你可以以 pricei
元的价格卖一块高为 hi
宽为 wi
的矩形木块。
每一次操作中,你必须按下述方式之一执行切割操作,以得到两块更小的矩形木块:
- 沿垂直方向按高度 完全 切割木块,或
- 沿水平方向按宽度 完全 切割木块
在将一块木块切成若干小木块后,你可以根据 prices
卖木块。你可以卖多块同样尺寸的木块。你不需要将所有小木块都卖出去。你 不能 旋转切好后木块的高和宽。
请你返回切割一块大小为 m x n
的木块后,能得到的 最多 钱数。
注意你可以切割木块任意次。
示例 1:
输入:m = 3, n = 5, prices = [[1,4,2],[2,2,7],[2,1,3]] 输出:19 解释:上图展示了一个可行的方案。包括: - 2 块 2 x 2 的小木块,售出 2 * 7 = 14 元。 - 1 块 2 x 1 的小木块,售出 1 * 3 = 3 元。 - 1 块 1 x 4 的小木块,售出 1 * 2 = 2 元。 总共售出 14 + 3 + 2 = 19 元。 19 元是最多能得到的钱数。
示例 2:
输入:m = 4, n = 6, prices = [[3,2,10],[1,4,2],[4,1,3]] 输出:32 解释:上图展示了一个可行的方案。包括: - 3 块 3 x 2 的小木块,售出 3 * 10 = 30 元。 - 1 块 1 x 4 的小木块,售出 1 * 2 = 2 元。 总共售出 30 + 2 = 32 元。 32 元是最多能得到的钱数。 注意我们不能旋转 1 x 4 的木块来得到 4 x 1 的木块。
提示:
1 <= m, n <= 200
1 <= prices.length <= 2 * 104
prices[i].length == 3
1 <= hi <= m
1 <= wi <= n
1 <= pricei <= 106
- 所有
(hi, wi)
互不相同 。
方法一:动态规划(DP)
令dp[i][j]
代表大小为i × j
的木块的最大价值。
初始值:若给定的大小为m × n
的木块的售卖价格为p
则令dp[m][n] = p
;否则dp[i][j] = 0
。
转移方程:
- 对于横着切的方法:
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - k][j] + dp[k][j])
(其中 1 ≤ k ≤ ⌊ i 2 ⌋ 1\leq k\leq \lfloor \frac{i}{2} \rfloor 1≤k≤⌊2i⌋)- 对于竖着切的方法:
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - k] + dp[i][k]);
(其中 1 ≤ k ≤ ⌊ j 2 ⌋ 1\leq k\leq \lfloor \frac{j}{2} \rfloor 1≤k≤⌊2j⌋)
最终返回dp[m][n]
即为答案。
- 时间复杂度 O ( m n ( m + n ) ) O(mn(m+n)) O(mn(m+n))
- 空间复杂度 O ( m n ) O(mn) O(mn)
AC代码
C++
typedef long long ll;
class Solution {
public:ll sellingWood(int m, int n, vector<vector<int>>& prices) {vector<vector<ll>> dp(m + 1, vector<ll>(n + 1));for (vector<int>& price : prices) {dp[price[0]][price[1]] = price[2];}for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {for (int k = 1; k <= i / 2; k++) {dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - k][j] + dp[k][j]);}for (int k = 1; k <= j / 2; k++) {dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - k] + dp[i][k]);}}}return dp[m][n];}
};
Python
from typing import Listclass Solution: # AC,96.77%,100.00%def sellingWood(self, m: int, n: int, prices: List[List[int]]) -> int:dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]for x, y, p in prices:dp[x][y] = pfor i in range(1, m + 1):for j in range(1, n + 1):dp[i][j] = max(dp[i][j],max((dp[i - k][j] + dp[k][j] for k in range(1, i // 2 + 1)), default=0), # 这里必须加上default,否则可能会变成max(())max((dp[i][j - k] + dp[i][k] for k in range(1, j // 2 + 1)), default=0))return dp[m][n]
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