0105行列式按行(列)展开-行列式-线性代数

在n阶行列式中,把 ( i , j ) 元 a i j (i,j)元a_{ij} (i,j)aij所在的第 i 行和第 j i行和第j i行和第j列划去后,留下来的 n − 1 n-1 n1阶行列式叫做 ( i , j ) 元 a i j (i,j)元a_{ij} (i,j)aij的余子式,记作 M i j M_{ij} Mij;记 A i j = ( − 1 ) i + j M i j , A i j 叫做 ( i , j ) 元 a i j A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},A_{ij}叫做(i,j)元a_{ij} Aij=(1)i+jMij,Aij叫做(i,j)aij的代数余子式。

引理 一个n阶行列式,如果其中第 i i i行所有元素除 ( i , j ) 元 a i j (i,j)元a_{ij} (i,j)aij外都是零,那么这行列式等于 a i j a_{ij} aij与它的代数余子式的乘积,即

D = a i j A i j D=a_{ij}A_{ij} D=aijAij

证明: 先证明 ( i , j ) = ( 1 , 1 ) 的情形,此时 D = ∣ a 11 0 ⋯ 0 a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ 这是上一节例 10 , k = 1 的情形,按例 10 的结论,有 D = a 11 M 11 又 A 11 = ( − 1 ) 1 + 1 M 11 = M 11 ∴ D = a 11 A 11 = a 11 M 11 在证一般情形,此时 ∣ a 11 ⋯ a 1 j ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ a i j ⋯ a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n j ⋯ a n n ∣ 把第 i 行依次与第 i − 1 , i − 2 , ⋯ , 1 行做交换;然后把第 j 列依次与第 j − 1 , j − 2 , ⋯ 列做交换 这样数 a i j 换成 ( 1 , 1 ) 元,经过的交换次数为 i + j − 2 ,所得行列式 D 1 有 D 1 = ( − 1 ) i + j − 2 D = ( − 1 ) i + j D D 1 中 ( 1 , 1 ) 的余子式就是 D 中 ( i , j ) 元的余子式 M i j D = ( − 1 ) i + j D 1 = ( − 1 ) i + j a i j M i j = a i j A i j 证明:\\ 先证明(i,j)=(1,1)的情形,此时\\ D=\begin{vmatrix} a_{11}&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ 这是上一节例10,k=1的情形,按例10的结论,有\\ D=a_{11}M_{11}\\ 又A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}\\ \therefore D=a_{11}A_{11}=a_{11}M_{11}\\ 在证一般情形,此时\\ \begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a{nn}\\ \end{vmatrix}\\ 把第i行依次与第i-1,i-2,\cdots,1行做交换;然后把第j列依次与第j-1,j-2,\cdots列做交换\\ 这样数a_{ij}换成(1,1)元,经过的交换次数为i+j-2,所得行列式D_1\\ 有D_1=(-1)^{i+j-2}D=(-1)^{i+j}D\\ D_1中(1,1)的余子式就是D中(i,j)元的余子式M_{ij}\\ D=(-1)^{i+j}D_1=(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}=a_{ij}A_{ij} 证明:先证明(i,j)=(1,1)的情形,此时D= a11a21an10a22an20a2nann 这是上一节例10k=1的情形,按例10的结论,有D=a11M11A11=(1)1+1M11=M11D=a11A11=a11M11在证一般情形,此时 a110an1a1jaijanja1nainann 把第i行依次与第i1,i2,,1行做交换;然后把第j列依次与第j1j2列做交换这样数aij换成(1,1)元,经过的交换次数为i+j2,所得行列式D1D1=(1)i+j2D=(1)i+jDD1(1,1)的余子式就是D(i,j)元的余子式MijD=(1)i+jD1=(1)i+jaijMij=aijAij

定理2 行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即

D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋯ + a i n A i n ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}(i=1,2, \cdots,n) D=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin(i=1,2,,n)​或者

D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ⋯ + a n j A n j ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}(j=1,2, \cdots,n) D=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj(j=1,2,,n)

证明: D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 + 0 + ⋯ + 0 0 + a i 2 + ⋯ + 0 ⋯ 0 + ⋯ + 0 + a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ + ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 a i 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ + ⋯ + ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ 根据引理,有 D = a i 1 A i j + a i 2 A i 2 + ⋯ + a i n A i n ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) 类似地,若按列证明,可得 D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ⋯ + a n j A n j ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) 证明:\\ D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}+0+\cdots+0&0+a_{i2}+\cdots+0&\cdots&0+\cdots+0+a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&a_{i2}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}+\cdots+ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ 根据引理,有 D=a_{i1}A_{ij}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}(i=1,2,\cdots,n)\\ 类似地,若按列证明,可得\\ D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}(j=1,2,\cdots,n) 证明:D= a11ai1+0++0an1a120+ai2++0an2a1n0++0+ainann = a11ai1an1a120an2a1n0ann + a110an1a12ai2an2a1n0ann ++ a110an1a120an2a1nainann 根据引理,有D=ai1Aij+ai2Ai2++ainAin(i=1,2,,n)类似地,若按列证明,可得D=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj(j=1,2,,n)

例7 计算 D = ∣ 3 1 − 1 2 − 5 1 3 − 4 2 0 1 − 1 1 − 5 3 − 3 ∣ D=\begin{vmatrix} 3&1&-1&2\\ -5&1&3&-4\\ 2&0&1&-1\\ 1&-5&3&-3\\ \end{vmatrix} D= 3521110513132413
解: D = c 1 − 2 c 3 , c 4 + c 3 ∣ 5 1 − 1 1 − 11 1 3 − 1 0 0 1 0 − 5 − 5 3 0 ∣ = ( − 1 ) 3 + 3 ∣ 5 1 1 − 11 1 − 1 − 5 − 5 0 ∣ = r 2 + r 1 ∣ 5 1 1 − 6 2 0 − 5 − 5 0 ∣ = ( − 1 ) 1 + 3 ∣ − 6 2 − 5 − 5 ∣ = 30 + 10 = 40 解:\\ D\overset{c_1-2c_3,c_4+c_3}{=}\begin{vmatrix} 5&1&-1&1\\ -11&1&3&-1\\ 0&0&1&0\\ -5&-5&3&0\\ \end{vmatrix}\\ =(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 5&1&1\\ -11&1&-1\\ -5&-5&0\\ \end{vmatrix}\\ \overset{r_2+r_1}{=}\begin{vmatrix} 5&1&1\\ -6&2&0\\ -5&-5&0\\ \end{vmatrix}\\ =(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} -6&2\\ -5&-5\\ \end{vmatrix}\\ =30+10=40 解:D=c12c3,c4+c3 51105110513131100 =(1)3+3 5115115110 =r2+r1 565125100 =(1)1+3 6525 =30+10=40

例12 证明范德蒙德行列式

D n = ∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ n ≥ i > j ≥ 1 ( x i − x j ) D_n=\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\\ \end{vmatrix}=\prod_{n\ge i\gt j\ge1}(x_i-x_j) Dn= 1x1x12x1n11x2x22x2n11xnxn2xnn1 =ni>j1(xixj)
证明: 用数学归纳法 ∵ D 2 = ∣ 1 1 x 1 x 2 ∣ = x 2 − x 1 = ∏ 2 ≥ i > j ≥ 1 ( x i − x j ) ∴ 当 n = 2 时,等式成立 现在假设当等式与 n − 1 阶范德蒙德行列式成立,要证等式对于 n 阶范德蒙德行列式成立。 把 D n 降阶:从第 n 行开始,后行减去前行的 x 1 倍,有 D n = ∣ 1 1 1 ⋯ 1 0 x 2 − x 1 x 3 − x 1 ⋯ x n − x 1 0 x 2 ( x 2 − x 1 ) x 3 ( x 3 − x 1 ) ⋯ x n ( x n − x 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 x 2 n − 2 ( x 2 − x 1 ) x 3 n − 2 ( x 3 − x 1 ) ⋯ x n n − 2 ( x n − x 1 ) ∣ 按第一列展开,并把每列的公因子 ( x i − x j ) 提出,有 D n = ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) ⋯ ( x n − x 1 ) ∣ 1 1 ⋯ 1 x 2 x 3 ⋯ x n x 2 2 x 3 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋮ x 2 n − 2 x 3 n − 2 ⋯ x n n − 2 ∣ 上式右端的行列式是 n − 1 阶范德蒙德行列式,按归纳法假设,它等于所有 ( x i − x j ) 因子的乘积,其中 n ≥ i > j ≥ 2 故 D n = ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) ⋯ ( x n − x 1 ) ∏ n ≥ i > j ≥ 2 ( x i − x j ) = ∏ n ≥ i > j ≥ 1 ( x i − x j ) 证明:\\ 用数学归纳法\\ \because D_2=\begin{vmatrix} 1&1\\ x_1&x_2\\ \end{vmatrix} =x_2-x_1=\prod_{2\ge i\gt j\ge1}(x_i-x_j)\\ \therefore 当n=2时,等式成立\\ 现在假设当等式与n-1阶范德蒙德行列式成立,要证等式对于n阶范德蒙德行列式成立。\\ 把D_n降阶:从第n行开始,后行减去前行的x_1倍,有\\ D_n=\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 0&x_2-x_1&x_3-x_1&\cdots&x_n-x_1\\ 0&x_2(x_2-x_1)&x_3(x_3-x_1)&\cdots&x_n(x_n-x_1)\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&x_2^{n-2}(x_2-x_1)&x_3^{n-2}(x_3-x_1)&\cdots&x_n^{n-2}(x_n-x_1)\\ \end{vmatrix}\\ 按第一列展开,并把每列的公因子(x_i-x_j)提出,有\\ D_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_2&x_3&\cdots&x_n\\ x_2^2&x_3^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&\cdots&x_n^{n-2}\\ \end{vmatrix}\\ 上式右端的行列式是n-1阶范德蒙德行列式,按归纳法假设,它等于所有(x_i-x_j)因子的乘积,其中n\ge i\gt j\ge2\\ 故 D_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)\prod_{n\ge i\gt j\ge2}(x_i-x_j)\\ =\prod_{n\ge i\gt j\ge 1}(x_i-x_j) 证明:用数学归纳法D2= 1x11x2 =x2x1=2i>j1(xixj)n=2时,等式成立现在假设当等式与n1阶范德蒙德行列式成立,要证等式对于n阶范德蒙德行列式成立。Dn降阶:从第n行开始,后行减去前行的x1倍,有Dn= 10001x2x1x2(x2x1)x2n2(x2x1)1x3x1x3(x3x1)x3n2(x3x1)1xnx1xn(xnx1)xnn2(xnx1) 按第一列展开,并把每列的公因子(xixj)提出,有Dn=(x2x1)(x3x1)(xnx1) 1x2x22x2n21x3x32x3n21xnxn2xnn2 上式右端的行列式是n1阶范德蒙德行列式,按归纳法假设,它等于所有(xixj)因子的乘积,其中ni>j2Dn=(x2x1)(x3x1)(xnx1)ni>j2(xixj)=ni>j1(xixj)

推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ + a i n A j n = 0 , i ≠ j a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0,i\not=j ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn=0,i=j

a 1 i A 1 j + a 2 i A 2 j + ⋯ + a n i A n j = 0 , i ≠ j a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0,i\not=j a1iA1j+a2iA2j++aniAnj=0,i=j

证明: 设有 n 阶行列式 D = d e t ( a i j ) ,按第 j 行展开式为 D = a j 1 A j 1 + a j 2 A j 2 + ⋯ + a j n A j n 因诸 A j k ( k = 1 , 2 , ⋯ n ) 都是先划去了 D 中第 j 行在经计算而得 所以当第 j 行元素依次取 b 1 , b 2 , ⋯ , b n 时,就有 D j = ∣ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ a j − 1 , 1 ⋯ a j − 1 , n b 1 ⋯ b n a j + 1 , 1 ⋯ a j + 1 , n ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ∣ 这里 D j 表示除第 j 行外其余行均与 D 相同的行列式。特别当 b 1 , b 2 , ⋯ , b n 依次取 D = d e t ( a i j ) 的第 i 行 ( i ≠ j ) 时 上式扔成立,此时 D j 中第 i 行与第 j 行相同,故 D j = 0 ∴ a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ + a i n A j n = 0 ( i ≠ j ) 类似地,对于列也成立。 证明:\\ 设有n阶行列式D=det(a_{ij}),按第j行展开式为\\ D=a_{j1}A_{j1}+a_{j2}A_{j2}+\cdots+a_{jn}A_{jn}\\ 因诸A_{jk}(k=1,2,\cdots n)都是先划去了D中第j行在经计算而得\\ 所以当第j行元素依次取b_1,b_2,\cdots,b_n时,就有\\ D_j=\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{j-1,1}&\cdots&a_{j-1,n}\\ b_1&\cdots&b_n\\ a_{j+1,1}&\cdots&a_{j+1,n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ 这里D_j表示除第j行外其余行均与D相同的行列式。 特别当b_1,b_2,\cdots,b_n依次取D=det(a_{ij})的第i行(i\not=j)时\\ 上式扔成立,此时D_j中第i行与第j行相同,故D_j=0\\ \therefore a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0(i\not=j) 类似地,对于列也成立。 证明:设有n阶行列式D=det(aij),按第j行展开式为D=aj1Aj1+aj2Aj2++ajnAjn因诸Ajk(k=1,2,n)都是先划去了D中第j行在经计算而得所以当第j行元素依次取b1,b2,,bn时,就有Dj= a11aj1,1b1aj+1,1an1a1naj1,nbnaj+1,nann 这里Dj表示除第j行外其余行均与D相同的行列式。特别当b1,b2,,bn依次取D=det(aij)的第i(i=j)上式扔成立,此时Dj中第i行与第j行相同,故Dj=0ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn=0(i=j)类似地,对于列也成立。

综合定理2及其推论,有关于代数余子式的重要性质:
∑ k = 1 n a k i A k j = { D , 当 i = j 0 , 当 i ≠ j 或 ∑ k = 1 n a i k A j k = { D , 当 i = j 0 , 当 i ≠ j \sum_{k=1}^n{a_{ki}A_{kj}}= \begin{cases} D,&当i=j\\ 0,&当i\ne j \end{cases}\\ 或\sum_{k=1}^n{a_{ik}A_{jk}}= \begin{cases} D,&当i=j\\ 0,&当i\ne j \end{cases} k=1nakiAkj={D,0,i=ji=jk=1naikAjk={D,0,i=ji=j

例13 设

D = ∣ 3 − 5 2 1 1 1 0 − 5 − 1 3 1 3 2 − 4 − 1 − 3 ∣ D=\begin{vmatrix}3&-5&2&1\\1&1&0&-5\\-1&3&1&3\\2&-4&-1&-3\end{vmatrix}\\ D= 3112513420111533

D 的元 ( i , j ) D的元(i,j) D的元(i,j)的余子式和代数余子式依次记作 M i j 和 A i j M_{ij}和A_{ij} MijAij

A 11 + A 12 + A 13 + A 14 及 M 11 + M 21 + M 31 + M 41 A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}及M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41} A11+A12+A13+A14M11+M21+M31+M41
解: A 11 + A 12 + A 13 + A 14 = 1 ⋅ A 11 + 1 ⋅ A 12 + 1 ⋅ A 13 + 1 ⋅ A 14 = ∣ 1 1 1 1 1 1 0 − 5 − 1 3 1 3 2 − 4 − 1 − 3 ∣ = r 3 − r 1 , r 4 + r 1 ∣ 1 1 1 1 1 1 0 − 5 − 2 2 0 2 3 − 3 0 − 2 ∣ = ∣ 1 1 − 5 − 2 2 2 3 − 3 − 2 ∣ = c 1 + c 2 ∣ 2 1 − 5 0 2 2 0 − 3 − 2 ∣ = 4 M 11 + M 21 + M 31 + M 41 = A 11 − A 21 + A 31 − A 41 = ∣ 1 − 5 2 1 − 1 1 0 − 5 1 3 1 3 − 1 − 4 − 1 − 3 ∣ = r 4 + r 3 ∣ 1 − 5 2 1 − 1 1 0 − 5 1 3 1 3 0 − 1 0 0 ∣ = − ∣ 1 2 1 − 1 0 − 5 1 1 3 ∣ = r 1 − 2 r 3 − ∣ − 1 0 − 5 − 1 0 − 5 1 1 3 ∣ = 0 解:\\ A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=1\cdot A_{11}+1\cdot A_{12}+1\cdot A_{13}+1\cdot A_{14}\\ =\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&1&0&-5\\-1&3&1&3\\2&-4&-1&-3\end{vmatrix}\\ \overset{r3-r1,r_4+r1}{=}\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&1&0&-5\\-2&2&0&2\\3&-3&0&-2\end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix}1&1&-5\\-2&2&2\\3&-3&-2\end{vmatrix}\\ \overset{c_1+c_2}{=}\begin{vmatrix}2&1&-5\\0&2&2\\0&-3&-2\end{vmatrix}=4\\ M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}=A_{11}-A_{21}+A_{31}-A_{41}=\\ \begin{vmatrix}1&-5&2&1\\-1&1&0&-5\\1&3&1&3\\-1&-4&-1&-3\end{vmatrix}\\ \overset{r_4+r_3}{=}\begin{vmatrix}1&-5&2&1\\-1&1&0&-5\\1&3&1&3\\0&-1&0&0\end{vmatrix}\\ =-\begin{vmatrix}1&2&1\\-1&0&-5\\1&1&3\end{vmatrix}\\ \overset{r_1-2r_3}{=}-\begin{vmatrix}-1&0&-5\\-1&0&-5\\1&1&3\end{vmatrix}\\ =0 解:A11+A12+A13+A14=1A11+1A12+1A13+1A14= 1112113410111533 =r3r1,r4+r1 1123112310001522 = 123123522 =c1+c2 200123522 =4M11+M21+M31+M41=A11A21+A31A41= 1111513420111533 =r4+r3 1110513120101530 = 111201153 =r12r3 111001553 =0

结语

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参考:

[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p15-20.

[2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p5.

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微服务架构的一个非常明显的特征就是一个服务所拥有的数据只能通过这个服务的API来访问。通过这种方式来解耦,这样就会带来查询问题。以前通过join就可以满足要求,现在如果需要跨多个服务集成查询就会非常麻烦。 解决思路 下面提供几个思路仅供参考 表…

【鸿蒙HarmonyOS开发笔记】常用组件介绍篇 —— Toggle切换按钮组件

概述 Toggle为切换按钮组件,一般用于两种状态之间的切换,例如下图中的蓝牙开关。 参数 Toggle组件的参数定义如下 Toggle(options: { type: ToggleType, isOn?: boolean })● type type属性用于设置Toggle组件的类型,可通过ToggleType枚举…

python异常:pythonIOError异常python打开文件异常

1.python读取不存在的文件时,抛出异常 通过 open()方法以读“r”的方式打开一个 abc.txt 的文件(该文件不存在),执行 open()打开一个不存在的文件时会抛 IOError 异常,通过 Python 所提供的 try...except...语句来接收…

linux查看服务器登录成功和登录失败的命令

last 查看成功登录服务器的信息,包括ip,时间,登录用户,时长。lastb 查看登录服务器失败的信息。 last命令实例: 其他参数: -a:把从何处登入系统的主机名称或ip地址,显示在最后一行…

.rmallox勒索病毒解密方法|勒索病毒解决|勒索病毒恢复|数据库修复

导言: 近年来,勒索病毒的威胁日益增加,其中一种名为.rmallox的勒索病毒备受关注。这种病毒通过加密文件并勒索赎金来威胁受害者。本文将介绍.rmallox勒索病毒的特点,以及如何恢复被其加密的数据文件,并提供预防措施&a…

Css提高——flex布局及其相关属性

目录: 1、传统布局与flex布局的区别 2、flex的布局原理 3、flex常见的父项属性 3.1、flex-direction :设置主轴的方向 3.2、justify-content 设置主轴上的子元素排列方式 3.3、flex-wrap 设置子元素是否换行 3.4、align-items 设置侧轴上的子元素排…

Linux:系统初始化,内核优化,性能优化(1)

我们安装好了一个服务器之后,一定要对他的系统,内核,性能一系列进行一个优化,否则当大并发的情况下很可能出现问题,我把要优化的东西直接罗列出来并介绍,后期可以直接编写一个脚本拿到服务器上直接用就行 …

在深圳,为什么硬件工程师的待遇还不如软件?

深圳触觉智能科技有限公司 硬件明明比软件更难,为何在国内… 硬件明明比软件更难,但硬件工程师待遇却不如软件工程师,硬件工程师常被忽视,被视为可轻易模仿的“配角”,默默付出却鲜获认可。比如八年以上的资深硬件工…

linux 内核升级-离线

离线升级 首先找到镜像网址:http://elrepo.org/tiki/Download 我选择了 https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/elrepo/kernel/el7/x86_64/RPMS/ 下载安装包 wget https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/elrepo/kernel/el7/x86_64/RPMS/elrepo-release-7.0-6.el7…

2024年普通人的创业机会在哪里?2024热门创业项目!2024普通人想翻身的风口行业!

创业千万别冲动,社区团购代理创业失败案例! 是不是一开始挺看好这个赛道,看别人做的风生水起,以为不难,真正开始做才发现不好做,没有先天优势,货源和客源从零开始积累,开始就是摸着石…

Java 世界破破烂烂,电音小猫缝缝补补

Java 世界破破烂烂,电音小猫缝缝补补 Java 通用代码生成器光 2.4.0 电音之王尝鲜版六正在研发,昨天发布了介绍视频,请见: https://www.bilibili.com/video/BV1yD421j7UP/ 电音之王尝鲜版六支持哑数据模式,支持枚举。…

uniapp APP 上传文件

/*** 上传文件*/uploadPhoneFile:function(callback,params {}) {let fileType [.pdf,.doc,.xlsx,.docx,.xls]// #ifdef APP-PLUSplus.io.chooseFile({title: 选择文件, filetypes: [doc, docx], // 允许的文件类型 multiple: false, // 是否允许多选 },(e)>{const tem…

软件测试面试200问,面试看这就够了。。。

🍅 视频学习:文末有免费的配套视频可观看 🍅 点击文末小卡片,免费获取软件测试全套资料,资料在手,涨薪更快 Part1 1、你的测试职业发展是什么? 测试经验越多,测试能力越高。所以我…

学嵌入式真的很烧钱吗?

如果是走嵌入式单片机方向,这篇内容,很适合预算1000以下的,作为发育参考。 下面是我2011年的入行成本: 买了智能小车,还有51开发板,杂七杂八,可能一共不到1000。 一开始迷之自信了,买…