在旋转点，旋转矩阵的逆等于矩阵的转置

视图变换和投影变换

三维变换

左边3*3是线性变换，右边一列是仿射变换(平移)

先线性再平移

缩放、旋转、平移

x叉乘y得到z，y叉乘z得到x， xyz给任何两个可以得到另一个
(循环对称) z叉乘x得到y，所以y是反的

3D旋转

任意绕3d轴旋转可以分解为绕x，y，z轴旋转。三个角为欧拉角
罗德里格斯旋转公式
绕n单位向量方向旋转α角。
推导过程

N的矩阵和把叉乘转成矩阵时的矩阵是一样的

View/Camera Transformation

MVP变换：
拍照：
找一个位置，人站好。相当于模型变换
找一个好的角度放相机。相当于视图变换
拍照。相当于投影变换

相机的位置，相机的朝向，定义相机向上的方向

相机默认放在原点，朝向-z，向上为y

从e平移到原点，把观察轴g旋转成-z，旋转t到y，g*t自然就是x轴方向

原始旋转Rview不好求，可以反过来求从原点旋转到相机角度，即x旋转到g叉乘t，y旋转到t，z旋转到-g
==>> (1,0,0)转到$(x_{g\times t}，y_{g\times t}，z_{g\times t})$， (0,1,0)转到$(x_t,y_t,z_t)$, (0,0,1)转到$(x_{-g},y_{-g},z_{-g})$
==>> $R_{view}^{-1}\cdot (0,1,0)=(x_t,y_t,z_t)$
==>> 矩阵中间一列是$[x_t,y_t,z_t]$

再做逆变换 (旋转矩阵是正交矩阵，所以旋转矩阵求逆等于将其转置)

逆矩阵：矩阵的逆是指对于一个可逆矩阵 A，存在一个矩阵 B，使得 A 乘以 B 等于单位矩阵。B为A的逆矩阵
转置矩阵：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵

如果是反向旋转一个角度，最终得到的旋转矩阵其实是正向旋转矩阵的 逆矩阵 ，由于这个矩阵是正交阵 ，所以逆矩阵就是转置矩阵

总结：物体和相机做一样的变换，相机变换到原点，向上为y，朝向-z。即模型视图变换(ModelView Transformation)

Projection transformation

正交投影：不会有近大远小的现象
透视投影

正交投影相当于相机离的无限远，则近平面与远平面几乎一样大小

正交投影

相机归位原点后，扔掉z坐标，不管x，y范围多到，转换到[-1,1], 得到的结果就是正交投影

定义空间中的一个立方体（空间中要做正交投影的范围），定义立方体的左右在x轴上是多少，下上在y轴是多少，远近在z轴是多少。将立方体映射到标准立方体[-1,1]
如何映射：把立方体的中心移到原点，把xyz轴分别拉成 -1到1。
f、n代表了远近，越远，z值越小，即 n > f。因为是沿着-z方向。为了保证右手坐标系。
在一些api如openGL等是左手系，但是x叉乘y不再等于z

先平移再缩放

透视变换

近大远小，平行线不再平行，相较于一点

(1,0,0,1)和(2,0,0,2)在3D里代表同一个点

从一个点往外看，同样定义一个近平面和远平面。
先将远平面的4个点挤到近平面，再做正交投影
注意：

1. 近平面永远不变
2. 挤完之后，远平面z值不变
3. 挤完之后，中心点仍为中心
   
   

从透视到正交：从侧面看，是相似三角形。求出远平面的y点在近平面的y点，x同理。
根据齐次坐标都乘以z

注意第4行是(0,0,1,0)而不是(0,0,0,z)因为z不是常量

任何一个点在近平面都不变，任何点在近平面和远平面的z值不变，近平面的z值定义为n
近平面的(x,y,n,1)经过0000投影变换仍是(x,y,n,1)

远平面的中心点经过变换仍是中心点，远平面的z值为f
远平面的(0,0,f,1)经过投影变换仍是(0,0,f,1)

透视矩阵的参数：
fov:视场角
aspect:宽高比
far:远平面
near:近平面

提问/作业

问题：对于中间的任何一个点，某一个z，如 z = $\frac{n+f}{2}$，经过变换后，z会如何变换。是变大(更接近于n)还是变小(更接近于f)：
x,y影响忽略，带入(0,0,$\frac{n+f}{2}$, 1)到投影变换方程
==>> (0,0,$\frac{n^2+f^2}{2}$, $\frac{n+f}{2}$)
==>> (0,0,$\frac{n^2+f^2}{n+f}$, 1)
==>> $\frac{n^2+f^2}{n+f}$ - $\frac{n+f}{2}$
==>> $\frac{(n-f{)}^2}{2(n+f)}$
==>> 镜头朝向-z，分母为负，分子为正。 小于0
==>>变换后的z值小于变换前的z值,更接近与远平面
==>>近大远小

显示三角形并控制旋转

绕任一向量旋转
绕(1,1,-1)

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