知识点

折半搜索的原理

折半搜索是一种技巧，实际上就是将一个次搜索过程分成两次进行，然后将两次搜索的结果合并，这种操作能大大减少用时。
如，有n个东西，问有多少种选取方案，分别选了哪几个?暴力时间复杂度$O(2^n)$折半后时间复杂度$O(2^{\frac{n}{2}}\times 2)$

折半搜索的过程

先将要搜索的部分分成两部分，然后进行第一部分的搜索，将结果存起来，再将需要做的操作做完，最后进行第二次搜索，将结果直接与第一次的匹配，统计答案并输出。

例题

题目：世界冰球锦标赛

时间限制：1秒 内存限制：128M

题目描述

从N个数中选出一些数，使其的和不超过M，输出有多少种选取方案。$(1\le N\le 40,1\le M\le 10^{18})$

输入样例

5 1000
100 1500 500 500 1000

输出样例

8

提示

八种方案分别是：
· 一场都不看，溜了溜了
· 价格 100 的比赛
· 第一场价格 500 的比赛
· 第二场价格 500 的比赛
· 价格 100 的比赛和第一场价格 500 的比赛
· 价格 100 的比赛和第二场价格 500 的比赛
· 两场价格 500 的比赛
· 价格 1000 的比赛

世界冰球锦标赛题解

思路

把比赛平均分成两份，进行完第一次搜索后将结果排个序，因为合并时要用到二分查找，然后进行第二次搜索，搜出一个答案用二分查找出最大是哪个匹配方式，累加它的编号（因为排了序），最后输出答案。

代码

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
long long a[50],n,m;
long long cnt=0,anss[1500000],ans=0;
void dfs(long long x,long long sum,long long end,int flag){if(sum>m){return ;}if(x==end+1){cout<<sum<<endl; if(flag==0){anss[++cnt]=sum;	}else{ans+=upper_bound(anss+1,anss+1+cnt,m-sum)-anss-1;}return ;}dfs(x+1,sum+a[x],end,flag);dfs(x+1,sum,end,flag);
}
int main() {scanf("%lld %lld",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);}dfs(1,0,n/2,0);sort(anss+1,anss+cnt+1);dfs(n/2+1,0,n,1);printf("%lld",ans);return 0;
}