计算机视觉（本科） 北京邮电大学 鲁鹏

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Finite difference filters有限差分滤波器

还有其他近似的导数滤波器：

对于 Sobel 算子：

$$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -2& 0& 2\\ -1& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\end{array}\right]=AB$$

可以发现Sobel算子先对图像使用 $B$ 进行卷积：求取图像边缘，然后使用 $A$ 进行卷积：高斯平滑（高斯核的近似值）。

总之：提取边缘、高斯平滑。

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此外，对于Roberts算子，$M_x$ 提取的是 135度方向的边，在边中像素差距不大，边的两边像素差距大。同理 $M_y$ 提取的是 45度方向的边。

Effects of noise噪声对边缘检测影响

考虑一个真实的图像 $f(x)$，有很大的噪声干扰：

使用边缘滤波器进行卷积 $\frac{d}{dx}f(x)$：

由于噪声影响太大，一阶导数的极值点有很多，便很难找到边缘。于是便有下面先平滑去噪、再边缘检测。

使用高斯 $g$ 滤波器去噪：

这时，边缘在一阶导的极值点处。

Derivative theorem of convolution卷积的导数定理

• 因为微分是卷积，卷积具有结合律Differentiation is convolution, and convolution is associative。

这样便有如下公式：
$$\frac{d}{dx}(f\ast g)=f\ast \frac{d}{dx}g$$

Derivative of Gaussian filter高斯滤波器的导数

高斯函数的一阶导数不可分离。

白色表示权重越高，黑色表示负的权值绝对值越大。

• Scale of Gaussian derivative filter高斯导数滤波器的大小对图像提取边缘的效果

高斯一阶导的方差可以改变高斯导数滤波器的大小。

1pixel可以看到斑马的胡须细节，而7pixels变得模糊了便看不到这些细节。

去除了噪声但模糊了边缘。

Smoothing vs. derivative filters平滑滤波器与导数滤波器

平滑滤波器：平滑去噪

• 高斯滤波器能够去除高频成分，是低通滤波器。
• 平滑滤波器的值没有负的。
• 平滑滤波器的值加和为1。不改变图像的强度。

导数滤波器：边缘提取

• 高斯导数滤波器：等价于先平滑去噪，再微分求边缘。
• 导数滤波器的值可以是负的。
• 导数滤波器的值求和为0。
• 高对比度处的高绝对值。High absolute value at points of high contrast

Canny edge detector

• 原始图像：

• norm of the gradient：梯度的L2范数

$$||\nabla f||=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial f}{\partial y}{)}^2}$$

对原图进行卷积操作：使用x方向的卷积模版求x方向的导数，使用y方向的卷积模版求y方向的导数。

然后求L2范数得到如下边缘强度的图：

• 使用阈值thresholding对边缘强度低的进行过滤。

上面过程产生的问题：边缘太厚：如上图中的肩膀处。

如何将这些厚实的区域梯度变成曲线？How to turn these thick regions of the gradient into curves？

• 非极大值抑制Non-maximum suppression：用于消除边缘检测中的冗余边缘信息，只保留最具代表性的边缘。

检查像素是否沿渐变方向是局部最大值，选择沿边缘宽度的单个最大值。

在边上的某一点，沿着该点的梯度方向（与边的方向垂直），寻找左右两个邻居像素点，如对上面的q点，找到梯度方向的两个点r和p，如果q比r与q都大，则保留q点，如果q比r与q都小，则q剔除不保留。

上面的过程中还有个问题就是Lena的下巴的边缘消失了。产生的原因是上面使用thresholding阈值设置太高了。但如果阈值设置的太低，一些伪边就会产生。为此便有下面的双门限法：

• Hysteresis thresholding滞后阈值法：使用高阈值提取出强边缘、然后使用低阈值会产生许多弱边缘，此时根据噪声边缘不会与强边缘有连接关系的假设，便可以剔除一些噪声边。

原始图像：

high threshold：提取强边缘。高门限结果：

low threshold：提取出弱边缘。低门限结果：

hysteresis threshold：滞后阈值法。双门限法：

Canny edge detector：

• 1.使用高斯导数滤波器处理图像。去噪、提取边缘。
• 2.求梯度的大小和方向Find magnitude and orientation of gradient：非极大值抑制使用。
• 3.非极大值抑制Non-maximum suppression：使边缘的厚度下降到单个像素的宽度。粗边细化。
• 4.链接和滞后阈值法Linking and thresholding (hysteresis)：定义两个阈值low and high，使用高阈值开始边缘曲线，使用低阈值继续边缘曲线

edge(image, ‘canny’); # matlab

Fitting拟合

前面我们能够检测出边缘，但边缘表示的信息我们不知道，我们不知道是不是圆形、汽车的形状等等。

我们希望通过根据简单模型对多个特征进行分组，从而形成一个更高级别、更紧凑的图像中特征的表示。

拟合：选择一个参数模型来表示一组特征Choose a parametric model to represent a set of features

拟合面临的问题：

• 测量特征位置中的噪声Noise in the measured feature locations
• 无关外部数据:杂乱(异常值)，多条线Extraneous data: clutter (outliers), multiple lines
• 缺失数据:遮蔽区域Missing data: occlusions

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Overview概述：

• 1.如果我们知道哪些点属于这条直线，我们如何找到“最佳”线路参数？最小二乘法Least squares

找到了属于这条线上的点，拟合这条线，使用最小二乘法。

• 2.如果有异常值怎么办？抗差拟合Robust fitting, RANSAC

这些点中有一些噪声点。噪声点少时使用Robust fitting，噪声点多时使用RANSAC。

• 3.如果有很多条线呢？投票方式:RANSAC、Hough变换Voting methods: RANSAC, Hough transform

有很多条线，拟合一条线时，其余的点都是噪声点。噪声点比较多使用RANSAC方法，或者使用霍夫变换。

• 4.如果我们甚至不确定这是一条线呢？Model selection

不知道图形的数学方程，如汽车边缘。可以使用Snake蛇形模型方法。

Least squares line fitting最小二乘直线拟合

Normal equations正规方程法。

上面是垂直Vertical最小二乘法，使用点到直线的垂直距离。会有下面问题：

• 没有旋转不变性Not rotation-invariant。
• 对于垂直线完全无效Fails completely for vertical lines。

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Total lease squares 全最小二乘：最小化点到直线的距离。

Unit normal单位法向量：$(a,b)\sqrt{a^2+b^2}=1$

对d求导，令导数等于0得到a和b表示的d，然后带入使用矩阵求：

最后等价于求 $(U^{T}U)N=0$ 中 $N$ 的解，可以看成线性方程组的解，也可以看做是求 $U^{T}U$ 的特征值0对应的特征向量 $N$ 。

其中称 $U^{T}U$ 为二阶矩矩阵second moment matrix。

上图中，直线 $ax+by=d$ 是我们要寻找的直线，单位法向量为 $N=(a,b)$ ，带入 $(0,0)$ 点，则 $d$ 为零点到直线的距离。$(\bar{x},\bar{y})$ 是直线上的点，则 $UN$ 表示点在单位法向量上的投影，即求点在单位法向量上投影的和的最小值满足的 $N(a,b)$ 。

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使用概率的方式理解：

噪声点对直线的偏移服从均值为0，标准差为 $\sigma$ 的正态分布。

由于要拟合的各点独立同分布iid于正态分布，利用极大似然估计，已经发生的事件概率最大化，再求对数似然估计：

最大化对数似然估计，等价于最小化：
$$\sum _{i=1}^n(a{x}_i+b{y}_i-d{)}^2$$
这便转换为了上面的全最小二乘。

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使用最小二乘拟合红点：

最小二乘与离群值（异常点）拟合：受外点影响较大。

使用下面的鲁棒最小二乘法。

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Robust estimators稳健估计：

定义Robust function鲁棒函数 $\rho$ ：
$$\rho (u;\sigma )=\frac{u^2}{{\sigma }^2+u^2}$$
函数图像如下：其中水平方向为 $u$ ，$\sigma$ 为已知参数。

将 $y=x^2$ 作为对比。

$u$ 较小时，近似等价于 $u$ 的平方，$\sigma$ 越小这种近似越明显。$u$ 较大时，趋近于1。

针对上面的问题，此时可以把 $u$ 看做点到直线的距离 $r_i(x_i,\theta )$，于是最小二乘改进为最小化：
$$\sum _{i=1}^n\rho (r_i(x_i,\theta );\sigma )$$
$\sigma$ 为0.1时，$u$ 很小就可饱和，超过 $u$ 之后的点就不用管了。$\sigma$ 可以形象理解为控制 $u$ 超过多少以后的点不用管了。$\sigma$ 越小，点到直线的距离很小时该点才可以作为拟合点。$\sigma$ 越大，点到直线的距离大一点也可以作为拟合点。

选择的 $\sigma$ 刚刚好just right，优化的结果异常值的影响被最小化

选择的 $\sigma$ 太小too small：每个点的误差值几乎相同，拟合很差。

选择的 $\sigma$ 太大too large：和最小二乘差不多。

Robust estimations：Details

• 鲁棒拟合是一个非线性优化问题，必须通过迭代求解。
• 最小二乘法求出的(a,b,d)参数可用于初始化。
• $\sigma$ 的选择：approx. 1.5 times median residual大约1.5倍平均残差$u$。