记忆化搜索

- 怎么优化？
- 这里为什么要用引用呢?
- 记忆化搜索的含义
- 记忆化搜索的框架
- - 1) 合法性剪枝
  - 2)偏序关系剪枝
  - 3)记忆化剪枝
  - 4)递归计算结果并返回

今天每日一题可以用dp做，但是看答案有人用记忆化搜索，以前也经常听到这个名词，so今天好好来学一下，什么是记忆化搜索。

参考链接

以Fibonacci为例

int f(unsigned int n) {if(n <= 1) {return 1;}return f(n-1) + f(n-2);
}

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这里直接说结论吧，递归时间复杂度是指数级

怎么优化？

从上面的图其实可以看出来， $f (3) 、 f (2)$ 都重复计算了。可以考虑将 $f (i)$ 计算出来的值存在哈希表中，算过一次以后，第二次可以直接取。这样每次计算 $f (i)$ 的时间复杂度就变成了 $O (1)$ 。总的时间复杂度降成了 $O (n)$ 。

const int inf = -1;
int h[46];void init() {memset(h, inf, sizeof(h));  // 1）
}int f(unsigned int n) {if(n <= 1) {return 1;}int &fib = h[n];            // 2）if(fib != inf) {return fib;             // 3）}fib = f(n-1) + f(n-2);      // 4）return fib;
}

这里为什么要用引用呢?

在第 2）行，我们使用引用 int &fib = h[n]; 来表示 $h$ 数组中的第 $n$ 个元素。这样，当我们在第 4）行计算 $f ib = f (n - 1) + f (n - 2)$ ; 时，我们可以直接修改 $h [n]$ 的值，而不需要使用额外的变量。

如果我们不使用引用，而是使用一个普通的整数变量，那么在递归调用 f 函数时，我们需要将 $h [n]$ 的值传递给这个变量，然后在计算完成后将这个变量的值写回 $h [n]$ 。这会导致额外的内存和计算开销，降低算法的效率。

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记忆化搜索的含义

记忆化搜索 = 深度优先搜索的实现 + 动态规划的思想

举个例子

给定一个 $\times m$ 的矩阵，要求选择一个起点，然后选择上下左右四个相邻方向之一开始行走，并且要保证行走的点的值比当前点小，即找一条单调递减的路径，要求这条路径最长。

在这里插入图片描述
我们可以从 $A_{33} = 25$ 这个位置出发，得到一条最大长度为25的路径。
请添加图片描述

int dir[4][2] = {{ 0, 1 }, { 0, -1 }, { 1, 0 }, { -1, 0 }
};
const int inf = -1;int dfs(int preval, int x, int y) {if(x < 1 || y < 1 || x > n || y > m) {return 0;                 // 1）}if(A[x][y] >= preval) {return 0;                 // 2）}int &val = f[x][y];if (val != inf) {             // 3）return val;}val = 1;for (int i = 0; i < 4; ++i) { // 4）int tx = x + dir[i][0];int ty = y + dir[i][1];val = max(val, dfs(A[x][y], tx, ty) + 1);}return val;                   // 5）
}

1) 其中dfs(preval,x,y)代表的是从 $A{xy}$ 这个位置出大能够到达的最长路，preval则代表从哪个值过来的；首先进行坐标合法性的判断，如果在边界以外，最长路一定是0
2) 然后进行偏序关系的判断，保证这条路是一条单调递减的路；
3) 如果哈希表中存在，直接取了返回
4) 然后遍历四个方向找最长路，四分方向的相邻位置作为当前位置的子问题求解；然后选最长
5) 将结果返回