题目描述

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

1 <= nums.length <= 10^5
-10^4 <= nums[i] <= 10^4

方法一：动态规划

思路和算法

代码

// Function to find the maximum sum of a contiguous subarray within the given array
int maxSubArray(int* nums, int numsSize) {int sum = 0; // Variable to store the current sum of the subarrayint maxAns = nums[0]; // Variable to store the maximum sum found so far// Iterate through the array to calculate the maximum subarray sumfor (int i = 0; i < numsSize; i++) {// Update the current sum by choosing the maximum between extending the subarray or starting a new subarraysum = fmax(sum + nums[i], nums[i]);// Update the maximum sum found so far by comparing with the current summaxAns = fmax(maxAns, sum);}return maxAns; // Return the maximum sum of a contiguous subarray
}

复杂度

时间复杂度：O(n)，其中 n 为 nums 数组的长度。我们只需要遍历一遍数组即可求得答案。
空间复杂度：O(1)。我们只需要常数空间存放若干变量。

方法二：分治

思路和算法

这个分治方法类似于「线段树求解最长公共上升子序列问题」的 pushUp 操作。

代码

// Structure to store the status of a subarray
struct Status {int lSum; // Maximum sum of the left subarrayint rSum; // Maximum sum of the right subarrayint mSum; // Maximum sum of any subarray within the rangeint iSum; // Total sum of the subarray
};// Function to update the status after merging left and right subarrays
struct Status pushUp(struct Status l, struct Status r) {int iSum = l.iSum + r.iSum; // Total sum of merged subarraysint lSum = fmax(l.lSum, l.iSum + r.lSum); // Maximum sum of the left subarrayint rSum = fmax(r.rSum, r.iSum + l.rSum); // Maximum sum of the right subarrayint mSum = fmax(fmax(l.mSum, r.mSum), l.rSum + r.lSum); // Maximum sum of any subarrayreturn (struct Status){lSum, rSum, mSum, iSum}; // Return the updated status
}// Function to get the status of a subarray within the range [l, r]
struct Status get(int* a, int l, int r) {// Base case: when the range contains only one elementif (l == r) {return (struct Status){a[l], a[l], a[l], a[l]}; // Return the status for a single element}// Calculate the middle index of the rangeint m = (l + r) >> 1;// Recursively get the status of the left and right subarraysstruct Status lSub = get(a, l, m);struct Status rSub = get(a, m + 1, r);// Merge the status of left and right subarraysreturn pushUp(lSub, rSub);
}// Function to find the maximum sum of any subarray within the given array
int maxSubArray(int* nums, int numsSize) {// Get the status of the entire array and return the maximum subarray sumreturn get(nums, 0, numsSize - 1).mSum;
}

复杂度分析

题外话

「方法二」相较于「方法一」来说，时间复杂度相同，但是因为使用了递归，并且维护了四个信息的结构体，运行的时间略长，空间复杂度也不如方法一优秀，而且难以理解。那么这种方法存在的意义是什么呢？

对于这道题而言，确实是如此的。但是仔细观察「方法二」，它不仅可以解决区间 [0,n−1]，还可以用于解决任意的子区间 [l,r] 的问题。如果我们把 [0,n−1] 分治下去出现的所有子区间的信息都用堆式存储的方式记忆化下来，即建成一棵真正的树之后，我们就可以在 O(log⁡n) 的时间内求到任意区间内的答案，我们甚至可以修改序列中的值，做一些简单的维护，之后仍然可以在 O(log⁡n) 的时间内求到任意区间内的答案，对于大规模查询的情况下，这种方法的优势便体现了出来。这棵树就是一种神奇的数据结构——线段树。

作者：力扣官方题解
链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/solutions/228009/zui-da-zi-xu-he-by-leetcode-solution/
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