2.1_3 奈氏准则和香农定理

（一）失真

有失真但可识别

失真大无法识别

影响失真程度的因素

  1.码元传输速率

  码元传输速率越快，越会导致信号失真的程度严重。

  2.信号传输距离

  距离越远，衰减越严重、干扰越多，信号失真程度越严重。

  3.噪声干扰

  噪声干扰越多，信号失真越严重。

  4.传输媒体质量

  传输媒体质量越差，失真越严重。

（二）失真的一种现象——码间串扰

  如上图所示，像第一个200Hz这样的，观察图像我们可以看出，它比较“宽、胖”，就是低频信号。（因为每秒钟震动次数少，所以低频）越往下越是高频的。且假设，200Hz的和4000Hz的都是无法通过的（因为过于低频，或过于高频）。

  信道带宽是信道能通过的最高频率和最低频率之差。

  例如能通过的最高频率就是3300Hz，能通过的最低频率就是300Hz，那么信道带宽就是3300Hz - 300Hz = 3000Hz。

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  那么，为什么过于低频的信号（如200Hz的）会不能传输呢？这是因为，它的震动频率太低，导致信号在电话线上传输的过程中非常容易受到衰减、损耗，最后导致衰减没了。所以它不能通过。

  那为什么过于高频的信号（如4000Hz的）不能传输？——这个的原理其实就是我们要讲的码间串扰的原理。它这个信号震动的次数、频率太快了，就会导致接收端在接收的时候区分不出来波形之间的差异，即码间串扰的现象。

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  码间串扰：接收端收到的信号波形失去了码元之间清晰界限的现象。

  问题：信号高频或低频，和码元有啥关系？

  答：信号震动的频率越快，说明码元的传输速率就越快。因为信号和码元实际上就是一一对应的，一种码元对应一种信号。因此，信号变化的速度快，码元变化的速度自然也快。所以，码元传输速率和信号的频率，是相对应的关系。

  因此就可以理解为什么会存在码间串扰。就是因为信号频率太快了，导致码元的变化太快了，因此码元和码元之间的界限就分不清楚了、分不清楚是0还是1了。

  就好比有一队人从你面前经过，而你需要数清楚这一队的人数。如果他们走得太快了，那你就数不过来——因为他们之间间隔距离又近、速度又快。甚至速度快的出现重影了。这就是码间串扰的现象。——码元传输速率太快了，导致码元在接收端处距离过近，码元之间的界限不清楚。这就是码间串扰。

（三）奈氏准则（奈奎斯特定理）

  为了解决码间串扰的问题，就出现了一个非常好的准则——奈氏准则。

奈氏准则

  在理想（即无噪声、不会受到干扰）低通（即带宽受限，“低于最高频率的”都可以通过，就叫“低通”）条件下，为了避免码间串扰，极限码元传输速率为2W Baud，W是信道带宽，单位是Hz。

  码元传输速率不能是无穷大，而要有个上限值。而这个上限值，奈奎斯特就给我们推导出来了，是2W Baud。单位是Hz。

  注意：我们在说带宽的时候，通常使用的单位都是b/s。但注意，在奈氏准则和香农定理当中，我们使用带宽的单位都用的是Hz。——注意，只有在奈氏准则和香农定理这两个公式当中，带宽才用Hz。

  正因如此，如果题目中提到了“……带宽是xxx Hz”，你看到它使用Hz作为带宽的单位了，你应该想到，这个题是不是应该用奈氏准则或者香农定理来求解。

  在考察奈氏准则的地方，为了制造混淆，题目中可能会问你：求一下极限数据率是多少。

根据奈氏准则，得出以下结论

  1.在任何信道中，码元传输的速率是有上限的。若传输速率超过此上限，就会出现严重的码间串扰问题，使接收端对码元的完全正确识别成为不可能。

  2.信道的频带越宽（即能通过的信号高频分量越多），就可以用更高的速率进行码元的有效传输。

  3.奈氏准则给出的是码元传输速率的限制，但并没有对信息传输速率给出限制。

  4.由于码元的传输速率受奈氏准则的制约，所以要提高数据的传输速率，就必须设法使每个码元能携带更多个比特的信息量，这就需要采用多元制的调制方法。

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例题

  在无噪声的情况下，若某通信链路的带宽为3kHz，采用4个相位，每个相位具有4种振幅的QAM调制技术，则该通信链路的最大数据传输率是多少？

  注意：3kHz = 3 * 10³Hz = 3000Hz。

答：

  信号有4 × 4 = 16种变化；

  最大数据传输率（比特率） = 2 × 3k × $lo{g}_{2}16$ = 24kb/s。

（四）香农定理

  噪声存在于所有的电子设备和通信信道中。由于噪声随机产生，它的瞬时值有时会很大，因此噪声会使接收端对码元的判决产生错误。但是噪声的影响是相对的，若信号较强，那么噪声影响相对较小。因此，信噪比就很重要。
$$信噪比=信号的平均功率/噪声的平均功率$$
  信噪比常记为S/N，并用分贝（dB）作为度量单位，即：
$$信噪比(dB)=10\ast lo{g}_{10}(S/N)$$

  这个公式很重要，即S/N与dB之间的单位换算。它俩都叫“信噪比”，只是衡量单位不同。因此，必须会转换。

  注：S/N是一个单纯的数值、不带单位。分贝是带单位dB的数。

香农定理

  在带宽受限且有噪声的信道中，为了不产生误差，信息的数据传输速率有上限值。

  注：它与前面奈氏准则的区别就是，它是在“有噪声”的信道中。

  不产生误差，即接收端能够正确分辨出码元到底是多少、波形到底是什么。

根据香农定理，得出以下结论

  1.信道的带宽或信道中的信噪比越大，则信息的极限传输速率就越高。

  2.对一定的传输带宽和一定的信噪比，信息传输速率的上限就确定了。

  3.只要信息的传输速率低于信道的极限传输速率，就一定能找到某种方法来实现无差错的传输。

  4.香农定理得出的为极限信息传输速率，实际信道能达到的传输速率要比它低不少。

  5.从香农定理可以看出，若信道带宽W或信噪比S/N没有上限（实际上这不可能），那么信道的极限信息传输速率也就没有上限。

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例题

  电话系统的典型参数是信道带宽为3000Hz，信噪比为30dB，则该系统最大数据传输速率是多少？

  由于公式：信道的极限数据传输速率 = W * $lo{g}_2(1+S/N)$ b/s。

  因此，我们需要先将30dB转化为S/N的值。

  转化的公式为：30dB = 10 * $lo{g}_{10}(S/N)$。

答：

  30dB = 10 * $lo{g}_{10}(S/N)$

  则，S/N = 1000

  则，信道的极限传输速率 = W * $lo{g}_2(1+S/N)$ = 3000 × $lo{g}_2(1+1000)$ ≈ 30kb/s。

  注意，到底该用“奈氏定理”的公式，还是“香农定理”的公式，题目中是不会告诉你的，需要你自己判断。

（五）“Nice”和“香浓”

奈氏准则——“内忧”

  带宽受限无噪声的条件下，为了避免码间串扰，码元传输速率的上限2W Baud。

  理想低通信道下的极限数据传输率 = $2W\ast lo{g}_{2}V$

  要想提高数据率，就要提高带宽，或采用更好的编码技术。

  因为V就是“一个码元对应多少个比特”。根据该公式，我们的目的是要提高W或V。

香农定理——“外患”

  带宽受限有噪声条件下的信息传输速率。

  信道的极限数据传输速率 = $W\ast lo{g}_2(1+S/N)$

  要想提高数据率，就要提高带宽，或者信噪比。

  同理，根据公式，我们的目的是提高W或者（S/N）。

问题：做题时该选哪个公式？

  有人说，看题，如果题目中给了噪声的条件，我们就用香农定理；如果没给噪声条件，我们就用奈氏准则。——这种说法其实是不对的。

分析

  如果题目中没有给噪声 / 信噪比等条件，给了V（即，一个码元对应多少比特），那香农定理肯定用不成。那自然只能用奈氏准则了。

  但是如果题目中给了噪声 / 信噪比等条件，同时也给了V（即，一个码元对应多少比特）。此时，两个公式都要算一下，然后取其中的最小值。

  为什么取最小值，例如上面这道题。奈氏准则说，你的最高极限速率只能是8000b/s，香农定理说，你的最高极限速率可以达到28000b/s。

  那么，如果我们取28000b/s为最大数据速率，那么就违反了奈氏准则。因此，我们应该取两个公式计算出的最小值，作为最终的最大数据速率。——本质上是“取交集”的逻辑。