1.基本概念

 1. 域（Domain）  

域是一组具有相同数据类型的值的集合。

2. 笛卡尔积（Cartesian Product）  

给定一组域D1，D2，…，Dn，允许其中某些域是相同的。    

D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为： D1×D2×…×Dn ＝  ｛（d1，d2，…，dn）｜diDi，i＝1，2，…，n｝

所有域的所有取值的一个组合 ,不能重复。

元组（Tuple） 笛卡尔积中每一个元素（d1，d2，…，dn）叫作一个n元组（n-tuple）或简称元组

分量（Component） 笛卡尔积元素（d1，d2，…，dn）中的每一个值di 叫作一个分量 。

基数（Cardinal number） 一个域允许的不同取值个数称为这个域的基数。 若Di（i＝1，2，…，n）为有限集，其基数为mi（i＝1，2，…，n），则D1×D2×…×Dn的基数M为：

笛卡尔积的表示方法 ：笛卡尔积可表示为一张二维表， 表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一个域。

3. 关系（Relation）

D1×D2×…×Dn的子集叫作在域D1，D2，…， Dn上的关系，表示为R（D1，D2，…，Dn）

R：关系名

n：关系的目或度（Degree）

元组： 关系中的每个元素是关系中的元组，通常用t表示。

单元关系与二元关系：

当n=1时，称该关系为单元关系（Unary relation）或一元关系                            

当n=2时，称该关系为二元关系（Binary relation）

关系的表示：关系也是一个二维表，表的每行对应一个元组，表 的每列对应一个域. 

属性 ：关系中不同列可以对应相同的域 ，为了加以区分，必须对每列起一个名字，称为属性（Attribute） 。n目关系必有n个属性。

码 ：

候选码（Candidate key） 若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为候选码。 简单的情况：候选码只包含一个属性。

全码（All-key） 最极端的情况：关系模式的所有属性组是这个关系模式的候选码，称为全码（All-key）

主码 ：若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码 （Primary key）

主属性： 候选码中的属性称为主属性（Prime attribute） 不包含在任何侯选码中的属性称为非主属性（Non-Prime attribute）或非码属性（Non-key attribute） 

三类关系：

基本关系（基本表或基表） ：实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示

查询表查：询结果对应的表

视图表 ：由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不对 应实际存储的数据。

基本关系的性质：

① 列是同质的（Homogeneous）

② 不同的列可出自同一个域 ，其中的每一列称为一个属性 ，不同的属性要给予不同的属性名。

③ 列的顺序无所谓，列的次序可以任意交换

④ 任意两个元组的候选码不能相同

⑤ 行的顺序无所谓，行的次序可以任意交换

⑥ 分量必须取原子值 ，这是规范条件中最基本的一条

4.关系模式

关系模式（Relation Schema）是型 。

关系是值。

关系模式是对关系的描述：元组集合的结构 ，属性构成 ，属性来自的域，属性与域之间的映象关系 。完整性约束条件。

关系模式可以形式化地表示为： R（U，D，DOM，F）         

R：关系名         

U：组成该关系的属性名集合         

D：U中属性所来自的域         

DOM：属性向域的映象集合         

F ：属性间数据的依赖关系的集合

关系模式通常可以简记为  ：R (U)    或    R (A1，A2，…，An)

R: 关系名

A1，A2，…，An  : 属性名

注：域名及属性向域的映象常常直接说明为属性的类型、长度。

关系模式 ：对关系的描述 。静态的、稳定的

关系 ：关系模式在某一时刻的状态或内容 动态的、随时间不断变化的 。

关系模式和关系往往笼统称为关系      

5.关系数据库

关系数据库：在一个给定的应用领域中，所有关系的集合构成一个关系数据库。

关系数据库的型与值 ：

关系数据库的型: 关系数据库模式，是对关系数据库的描述。

关系数据库的值: 关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常称为关系数据库。

6.关系模型的存储结构

关系数据库的物理组织 ：有的关系数据库管理系统中一个表对应一个操作系统文件，将物理数据组织交给操作系统完成。 有的关系数据库管理系统从操作系统那里申请若干个大的文件，自己划分文件空间，组织表、索引等存储结构，并进行存储管理。

2.关系操作

1.常用的关系操作

查询操作：选择、投影、连接、除、并、差、交、笛卡尔积。

选择、投影、并、差、笛卡尔是5种基本操作

数据更新：插入、删除、修改。

关系操作的特点：集合操作方式：操作的对象和结果都是集合，一次一集合的方式。

2.语言的分类

关系代数语言： 用对关系的运算来表达查询要求 。  代表：ISBL

关系演算语言：

用谓词来表达查询要求： 元组关系演算语言 。谓词变元的基本对象是元组变量。 代表：APLHA, QUEL

域关系演算语言  ：   谓词变元的基本对象是域变量 。  代表：QBE

具有关系代数和关系演算双重特点的语言。 代表：SQL（Structured Query Language）

3.关系的完整性

1.实体完整性

关系的三类完整性约束：

1.实体完整性和参照完整性： 关系模型必须满足的完整性约束条件称为关系的两个不变性，应该由关系系统自动支持。

2.用户定义的完整性 ：应用领域需要遵循的约束条件，体现了具体领域中的语义约束。

实体完整性规则（Entity Integrity）

若属性A是基本关系R的主属性，则属性A不能取空值 。空值就是“不知道”或“不存在”或“无意义”的值。

实体完整性规则的说明 ：

（1）实体完整性规则是针对基本关系而言的。 一个基本表通常对应现实世界的一个实体集。

（2）现实世界中的实体是可区分的，即它们具有某种唯一性标识。

（3）关系模型中以主码作为唯一性标识。

（4）主码中的属性即主属性不能取空值。 主属性取空值，就说明存在某个不可标识的实体，即存在不可区分的实体，这与第（2）点相矛盾，因此这个规则称为实体完整性。

2.参照完整性

1. 关系间的引用

在关系模型中实体及实体间的联系都是用关系来描述的，自然存在着关系与关系间的引用。

2. 外码

设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的码。如果F与基本关系S的主码Ks相对应，则称F是R的外码

基本关系R称为参照关系（Referencing  Relation）

基本关系S称为被参照关系（Referenced Relation） 或目标关系（Target Relation）

注：

关系R和S不一定是不同的关系。

目标关系S的主码Ks 和参照关系的外码F必须定义在同一个（或一组）域上。

外码并不一定要与相应的主码同名。

当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取相同的名字，以便于识别。

3. 参照完整性规则

参照完整性规则    ：

若属性（或属性组）F是基本关系R的外码，它与基本关系S的主码Ks相对应（基本关系R和S不一定是不同的关系），则对于R中每个元组在F上的值必须为： 或者取空值（F的每个属性值均为空值） ，或者等于S中某个元组的主码值。

3.用户定义的完整性

针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求

关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统的方法处理它们，而不需由应用程序承担这一功能

4.关系代数

关系代数是一种抽象的查询语言，它用对关系的运算来表达查询

关系代数： 运算对象是关系 ，运算结果亦为关系 。

关系代数的运算符有两类：集合运算符和专门的关系运算符 。传统的集合运算是从关系的“水平”方向即行的角度进行 ，专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列。

1.传统集合运算

R和S 具有相同的目n（即两个关系都有n个属性） 相应的属性取自同一个域（以下没显示出来的符号为”属于“）

R∪S 仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成。          R∪S = { t|t  R∨t S }

R - S 仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成。          R -S = { t|tR∧tS }

R∩S 仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成。R∩S = { t|t  R∧t S }      R∩S = R –(R-S）

笛卡尔积：

严格地讲应该是广义的笛卡尔积（Extended Cartesian Product）

R: n目关系，k1个元组

S: m目关系，k2个元组

R×S

列：（n+m）列元组的集合

元组的前n列是关系R的一个元组 ，后m列是关系S的一个元组

行：k1×k2个元组 R×S = {tr ts |tr R ∧ tsS }

2.专门关系运算

引入新的表示方法：

（1） R，t属于R，t[Ai]          

设关系模式为R(A1，A2，…，An)  它的一个关系设为R  ，t属于R 表示t是R的一个元组 ，t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量。

（2） A，t[A]， A非   

若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分，则A称为属性列或属性组。    

t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。    

A非则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}后剩余的属性组。

（4）象集Zx  

给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为：           Zx={t[Z]|t R，t[X]=x}  它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合。

1. 选择

选择又称为限制（Restriction）选择运算符的含义在关系R中选择满足给定条件的诸元组          σF(R) = {t|t属于R∧F(t)= '真'}

F：选择条件，是一个逻辑表达式，取值为“真”或“假” 基本形式为：X1θY1

θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，＝或<>

选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算

2. 投影

从R中选择出若干属性列组成新的关系 ： πA(R) = { t[A] | t 属于R }         

A：R中的属性列

投影操作主要是从列的角度进行运算

投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）

3. 连接

连接也称为θ连接 ，连接运算的含义： 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组

 

A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组

θ：比较运算符

连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组

两类常用连接运算 ：

等值连接（equijoin） θ为“＝”的连接运算称为等值连接，从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组，即等值连接为：      

自然连接（Natural join）

自然连接是一种特殊的等值连接，两个关系中进行比较的分量必须是同名的属性组 ，在结果中把重复的属性列去掉

自然连接的含义 ：R和S具有相同的属性组B

一般的连接操作是从行的角度进行运算。

自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。

注：两个关系在没有公共属性时，其自然连接操作表现为笛卡尔积操作。

悬浮元组（Dangling tuple）： 两个关系R和S在做自然连接时，关系R中某些元组有可能在S中不存在公共属性上值相等的元组，从而造成R中这些元组在操作时被舍弃了，这些被舍弃的元组称为悬浮元组。

外连接（Outer Join）： 如果把悬浮元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值(Null)，就叫做外连接

左外连接(LEFT OUTER JOIN或LEFT JOIN) 只保留左边关系R中的悬浮元组。

右外连接(RIGHT OUTER JOIN或RIGHT JOIN) 只保留右边关系S中的悬浮元组。

4. 除运算

给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组。 R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。

R与S的除运算得到一个新的关系P(X)， P是R中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影： 元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，记作：      

 R÷S={tr[X]|trR∧πY(S)属于Yx}            Yx：x在R中的象集，x = tr[X]

从行和列的角度考虑：

在关系R中，A可以取四个值{a1，a2，a3，a4}    

a1的象集为 {(b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1)}    

a2的象集为 {(b3，c7)，(b2，c3)}    

a3的象集为 {(b4，c6)}    

a4的象集为 {(b6，c6)}

S在(B，C)上的投影为：{(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) }

只有a1的象集包含了S在(B，C)属性组上的投影，所以 R÷S ={a1}

注意：关系运算中花费时间可能最长的运算是笛卡尔积

例题：

小结：

关系数据库系统是目前使用最广泛的数据库系统

关系数据库系统与非关系数据库系统的区别： 关系系统只有“表”这一种数据结构 非关系数据库系统还有其他数据结构，以及对这些数据结构的操作。