完全背包理论基础

完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。

在下面的讲解中，我依然举这个例子：

背包最大重量为4。

物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

每件商品都有无限个！

问背包能背的物品最大价值是多少？

01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序经行分析！

关于01背包我如下两篇已经进行深入分析了：

• 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！(opens new window)
• 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）(opens new window)

首先再回顾一下01背包的核心代码

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

至于为什么，我在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）(opens new window)中也做了讲解。

dp状态图如下：

相信很多同学看网上的文章，关于完全背包介绍基本就到为止了。

其实还有一个很重要的问题，为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？

这个问题很多题解关于这里都是轻描淡写就略过了，大家都默认 遍历物品在外层，遍历背包容量在内层，好像本应该如此一样，那么为什么呢？

难道就不能遍历背包容量在外层，遍历物品在内层？

看过这两篇的话：

• 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！(opens new window)
• 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）(opens new window)

就知道了，01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！

因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：

遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：

看了这两个图，大家就会理解，完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。

先遍历背包在遍历物品，代码如下：

// 先遍历背包，再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}cout << endl;
}

完整的C++测试代码如下：

// 先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {vector<int> weight = {1, 3, 4};vector<int> value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {test_CompletePack();
}

// 先遍历背包，再遍历物品
void test_CompletePack() {vector<int> weight = {1, 3, 4};vector<int> value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {test_CompletePack();
}

本题力扣上没有原题，大家可以去卡码网第52题(opens new window)去练习，题意是一样的，C++代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;// 先遍历背包，再遍历物品
void test_CompletePack(vector<int> weight, vector<int> value, int bagWeight) {vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {int N, V;cin >> N >> V;vector<int> weight;vector<int> value;for (int i = 0; i < N; i++) {int w;int v;cin >> w >> v;weight.push_back(w);value.push_back(v);}test_CompletePack(weight, value, V);return 0;
}

#总结

细心的同学可能发现，全文我说的都是对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！

但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。

如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。

这个区别，我将在后面讲解具体leetcode题目中给大家介绍，因为这块如果不结合具题目，单纯的介绍原理估计很多同学会越看越懵！

别急，下一篇就是了！

最后，又可以出一道面试题了，就是纯完全背包，要求先用二维dp数组实现，然后再用一维dp数组实现，最后再问，两个for循环的先后是否可以颠倒？为什么？ 这个简单的完全背包问题，估计就可以难住不少候选人了。

518.零钱兑换II

1、题目链接：. - 力扣（LeetCode）

2、文章讲解：代码随想录

3、题目：

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

• 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
• 输出: 4

解释: 有四种方式可以凑成总金额:

• 5=5
• 5=2+2+1
• 5=2+1+1+1
• 5=1+1+1+1+1

示例 2:

• 输入: amount = 3, coins = [2]
• 输出: 0
• 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3:

• 输入: amount = 10, coins = [10]
• 输出: 1

注意，你可以假设：

• 0 <= amount (总金额) <= 5000
• 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
• 硬币种类不超过 500 种
• 结果符合 32 位符号整数

4、视频链接：

动态规划之完全背包，装满背包有多少种方法？组合与排列有讲究！| LeetCode：518.零钱兑换II_哔哩哔哩_bilibili

class Solution {public int change(int amount, int[] coins) {//递推表达式int[] dp = new int[amount + 1];//初始化dp数组，表示金额为0时只有一种情况，也就是什么都不装dp[0] = 1;for (int i = 0; i < coins.length; i++) {for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {dp[j] += dp[j - coins[i]];}}return dp[amount];}
}

377. 组合总和 Ⅳ

1、题目链接：. - 力扣（LeetCode）

2、文章讲解：代码随想录

3、题目：

给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。

示例:

• nums = [1, 2, 3]
• target = 4

所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1)

请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

因此输出为 7。

4、视频链接：

动态规划之完全背包，装满背包有几种方法？求排列数？| LeetCode：377.组合总和IV_哔哩哔哩_bilibili

class Solution {public int combinationSum4(int[] nums, int target) {int[] dp = new int[target + 1];dp[0] = 1;for (int i = 0; i <= target; i++) {for (int j = 0; j < nums.length; j++) {if (i >= nums[j]) {dp[i] += dp[i - nums[j]];}}}return dp[target];}
}