C++学习笔记:AVL树

AVL树

什么是AVL树?
AVL树节点的定义
AVL树的插入
- 平衡因子调整
- 旋转调整
- 左旋转
- 右旋转
- 左右双旋
- 右左双旋
AVL树完整代码实现

什么是AVL树?

AVL是1962年,两位俄罗斯数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis 为了解决如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下的问题 ,因此发明了一种特殊的二叉搜索树,并以他们的名字命名为AVL树.
相比于普通的二叉树来说,AVL树的节点定义多了一个平衡因子:
平衡因子 = 右子树的高度 - 左子树的高度
因为AVL树需要通过平衡因子来确保它的特性,而AVL树的特性有以下几点:

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

因为有上面两点的限制,当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 $O(log_2 n)$ ，搜索时间复杂度O( $log_2 n$ )

AVL树节点的定义

因为在AVL树中,若插入一些节点需要对AVL树的节点进行旋转调整等,在进行旋转调整的时候需要记录当前节点父节点的位置,因此在AVL树的节点定义如下:

template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data = T()): _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _left;  AVLTreeNode<T>* _right;AVLTreeNode<T>* _parent;T _data;int _bf;   // 节点的平衡因子
};

平衡因子_bf应初始化为0

AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。
但是AVL树插入值的时候会有平衡因子的改变,那么AVL树的插入过程可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式插入新节点
调整节点的平衡因子

平衡因子调整

新增节点在父节点的左边 bf–
新增节点在父节点的右边 bf++
在更新后:
插入节点之前,父亲的bf 为 1 或者 -1 ,插入节点在低的子树那边,那么更新后父亲的 bf == 0 ,左右子树高度不变,插入结束
插入前父节点的bf = 0,更新后父亲的 bf == 1 || bf == -1 ,父亲所在子树高度变了,需要继续往上更新
父亲节点bf更新后为 2 或者 -2,则说明需要进行调整

新增节点可能会影响祖先,因此插入节点后,需要查看子树的高度是否变化:

若子树高度不变,就不会影响祖先
若子树高度改变,就会影响祖先

如下图,虽然增加了一个节点,但是并不影响节点 7 这颗子树的高度,因此祖先节点5就不会改变
在这里插入图片描述
但是出现下面这种情况,就需要进行调整了

因为新插入的节点影响了父节点 9 的高度,进而影响了 8 节点的平衡因子变成了2
这种时候就需要进行调整了

旋转调整

AVL树正式因为有旋转调整这一必杀利器，因此才能保证它一直是AVL树，而旋转调整又分为：左旋转，右旋转，左右旋转，右左旋转
四种旋转分别对应４种不同的情况接下来看看这些旋转的条件及思想
而旋转的必要条件就是父亲节点的bf == -2 || bf == 2:parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2

左旋转

左旋转的条件: parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1
如图:
简易版:
在这里插入图片描述

综合版
在这里插入图片描述

代码实现:

// 左单旋void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;subR->_left = parent;Node* pparent = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (subRL){subRL->_parent = parent;}if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;}else{pparent->_right = subR;}subR->_parent = pparent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}

右旋转

右旋转的条件:parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1
思想:
简易版:
在这里插入图片描述
综合版

左右双旋

左右双旋的条件:parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1
思想:
在这里插入图片描述
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
代码实现

// 左右双旋void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);//此节点本身就是插入节点if (bf == 0){parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1) //右子树的高度较高{parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1) //左子树的高度较高{parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}

右左双旋

右左双旋的条件:parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1
思想:
在这里插入图片描述
右左双旋代码实现:

// 右左双旋void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){//subRL 自己就是新增节点parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){//subRL 的左子树新增节点parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 1;}else if (bf == 1){//subRL 的右子树新增节点 parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}}

AVL树完整代码实现

此代码种包含了AVL树平衡的判断和中序遍历

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>using namespace std;template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data = T()): _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _left;AVLTreeNode<T>* _right;AVLTreeNode<T>* _parent;T _data;int _bf;   // 节点的平衡因子
};// AVL: 二叉搜索树 + 平衡因子的限制
template<class T>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<T> Node;
public:// 在AVL树中插入值为data的节点bool Insert(const T& data){if (_root == nullptr){_root = new Node(data);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_data > data){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_data < data){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(data);if (parent->_data > data){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;//判断平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)  //该调整了{//单纯的右边高 左旋if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}//单纯的左边高 右旋else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}//右边的左子树高  右左双旋else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}//左边的右子树高  左右双旋else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}//旋转完成后不再需要更新break;}else{assert(false);}}return true;}bool Isbalance(){return _Isbalance(_root);}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:// 右单旋void RotateR(Node* parent){Node* pparent = parent->_parent;Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;parent->_parent = subL;subL->_right = parent;if (subLR){subLR->_parent = parent;}if (_root == parent){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subL;}else{pparent->_right = subL;}subL->_parent = pparent;}parent->_bf = subL->_bf = 0;}// 左单旋void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;subR->_left = parent;Node* pparent = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (subRL){subRL->_parent = parent;}if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;}else{pparent->_right = subR;}subR->_parent = pparent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}// 右左双旋void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){//subRL 自己就是新增节点parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){//subRL 的左子树新增节点parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 1;}else if (bf == 1){//subRL 的右子树新增节点 parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}}// 左右双旋void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);//此节点本身就是插入节点if (bf == 0){parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1) //右子树的高度较高{parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1) //左子树的高度较高{parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}//AVL树的高度int _height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int leftHeight = _height(root->left);int rightHeight = _height(root->right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}//检查平衡bool _Isbalance(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int leftHeight = _height(root->left);int rightHeight = _height(root->right);if (root->_bf != rightHeight - leftHeight){cout << root->_data << "节点bf异常" << endl;}return abs(leftHeight - rightHeight) < 2&& _Isbalance(root->_left)&& _Isbalance(root->_right);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_data << " ";_InOrder(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;
};