基于模拟退火算法（SA）的TSP（Python实现）

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最优化算法（2）---《基于模拟退火算法（SA）的TSP（Python实现）》

基于模拟退火算法（SA）的TSP（Python实现）

1.项目介绍

算法介绍：

算法的核心思想包括以下几个方面：

SA算法求解TSP的基本思路包括：

2.程序代码

3.运行结果

1.项目介绍

基于模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）的TSP（Traveling Salesman Problem，旅行商问题），我们涉及一种用于解决TSP的启发式优化方法。TSP是一个经典的组合优化问题，旨在寻找一条最短路径，使得旅行商可以访问每个城市恰好一次并返回起点城市。

算法介绍：

模拟退火算法（SA）是一种经典的全局优化算法，其灵感来自固体材料的退火过程。在物理学中，高温下的固体粒子具有较高的动能，可以跳出局部能量最小值，而随着温度降低，粒子逐渐趋向稳定状态。这种原理启发了模拟退火算法的设计思想，即通过在初始阶段接受较差解的方式，逐渐减小接受较差解的概率，从而逼近全局最优解。

在TSP问题上，SA算法通过定义合适的状态空间和能量函数，并结合退火策略，能够很好地应用于寻找最优旅行路径。初始解可以通过随机生成初始路径得到，状态空间可以定义为对当前路径进行微小的变化（如交换城市顺序），而能量函数通常是路径长度的计算。退火策略包括控制温度参数和退火速度，以在搜索空间中进行状态的变化，并逐步接近最优解。

在SA算法求解TSP时，关键的一点是合理设置退火过程中的温度下降速率和终止条件，以确保算法能够在合理的时间内收敛到较优解。

算法的核心思想包括以下几个方面：

初始解：随机生成初始旅行路径
状态空间：定义了TSP解空间中可行解之间的相邻关系，如通过交换、翻转等操作生成新的解
能量函数：通常是TSP问题中路径长度的计算，用于评估每个解的质量
退火策略：通过控制温度参数和退火速度，在搜索空间中进行状态的变化，从而逐步接近最优解

SA算法求解TSP的基本思路包括：

初始化：随机生成初始路径
退火过程：在退火过程中，根据能量函数和温度参数，接受或拒绝新的解，并降低温度以逐步收敛到全局最优解
终止条件：达到预设的迭代次数或满足特定条件时结束搜索，返回最优路径

通过利用SA算法求解TSP问题，可以有效地寻找到较为优秀的旅行路线，尽管无法保证找到全局最优解，但通常能够获得接近最优解的结果。

2.程序代码

""""
题目：基于模拟退火算法的TSP
姓名：Rainbook
最终修改时间：2023.12.30
"""
import math                         # 导入模块 math
import random                       # 导入模块 random
import pandas as pd                 # 导入模块 pandas 并简写成 pd
import numpy as np                  # 导入模块 numpy 并简写成 np YouCans
import matplotlib.pyplot as plt     # 导入模块 matplotlib.pyplot 并简写成 pltplt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']  # 使用微软雅黑字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 处理负号显示异常np.set_printoptions(precision=4)
pd.set_option('display.max_rows', 20)
pd.set_option('expand_frame_repr', False)
pd.options.display.float_format = '{:,.2f}'.format# 子程序：初始化模拟退火算法的控制参数
def initParameter():tInitial = 100.0                # 设定初始退火温度(initial temperature)tFinal = 1                    # 设定终止退火温度(stop temperature)nMarkov = 1000                # Markov链长度，也即内循环运行次数alfa = 0.98                 # 设定降温参数，T(k)=alfa*T(k-1)return tInitial, tFinal, alfa, nMarkov# 子程序：读取TSPLib数据
def read_TSPLib(fileName):res = []with open(fileName, 'r') as fid:for item in fid:if len(item.strip())!=0:res.append(item.split())loadData = np.array(res).astype('int')      # 数据格式：i Xi YiCity = loadData[:,1::]return City# 子程序：计算各城市间的距离，得到距离矩阵
def getDistMat(nCities, City):distMat = np.zeros((nCities,nCities))       # 初始化距离矩阵for i in range(nCities):for j in range(i,nCities):# np.linalg.norm 求向量的范数（默认求 二范数），得到 i、j 间的距离distMat[i][j] = distMat[j][i] = round(np.linalg.norm(City[i]-City[j]))return distMat                              # 城市间距离取整（四舍五入）# 子程序：计算 TSP 路径长度
def calTourMileage(tourGiven, nCities, distMat):mileageTour = distMat[tourGiven[nCities-1], tourGiven[0]]   # dist((n-1),0)for i in range(nCities-1):                                  # dist(0,1),...dist((n-2)(n-1))mileageTour += distMat[tourGiven[i], tourGiven[i+1]]return round(mileageTour)                     # 路径总长度取整（四舍五入）# 绘制 TSP 路径图
def plot_tour(tour, value, City):num = len(tour)x0, y0 = City[tour[num - 1]]x1, y1 = City[tour[0]]plt.scatter(int(x0), int(y0), s=15, c='r')      # 绘制城市坐标点 C(n-1)plt.plot([x1, x0], [y1, y0], c='b')             # 绘制旅行路径 C(n-1)~C(0)for i in range(num - 1):x0, y0 = City[tour[i]]x1, y1 = City[tour[i + 1]]plt.scatter(int(x0), int(y0), s=15, c='r')  # 绘制城市坐标点 C(i)plt.plot([x1, x0], [y1, y0], c='b')         # 绘制旅行路径 C(i)~C(i+1)plt.xlabel("Total mileage of the tour:{:.1f}".format(value))plt.title("Optimization tour of TSP{:d}".format(num))  # 设置图形标题plt.show()# 交换操作算子
def mutateSwap(tourGiven, nCities):# 在 [0,n) 产生 2个不相等的随机整数 i,ji = np.random.randint(nCities)          # 产生第一个 [0,n) 区间内的随机整数while True:j = np.random.randint(nCities)      # 产生一个 [0,n) 区间内的随机整数if i!=j: break                      # 保证 i, j 不相等tourSwap = tourGiven.copy()             # 将给定路径复制给新路径 tourSwaptourSwap[i], tourSwap[j] = tourGiven[j],tourGiven[i] # 交换 城市 i 和 j 的位置————简洁的实现方法return tourSwapdef SA_TSP(coordinates ):# 模拟退火算法参数设置tInitial,tFinal,alfa,nMarkov = initParameter()      # 调用子程序，获得设置参数nCities = coordinates.shape[0]              # 根据输入的城市坐标 获得城市数量 nCitiesdistMat = getDistMat(nCities, coordinates)  # 调用子程序，计算城市间距离矩阵nMarkov = nCities                           # Markov链 的初值设置tNow = tInitial                          # 初始化 当前温度(current temperature)# 初始化准备tourNow  = np.arange(nCities)   # 产生初始路径，返回一个初值为0、步长为1、长度为n 的排列valueNow = calTourMileage(tourNow,nCities,distMat) # 计算当前路径的总长度 valueNowtourBest = tourNow.copy()                          # 初始化最优路径，复制 tourNowvalueBest = valueNow                                # 初始化最优路径的总长度，复制 valueNowrecordBest = []                                     # 初始化 最优路径记录表recordNow = []                                     # 初始化 最优路径记录表# 开始模拟退火优化过程iter = 0                        # 外循环迭代次数计数器while tNow >= tFinal:           # 外循环，直到当前温度达到终止温度时结束# 在当前温度下，进行充分次数(nMarkov)的状态转移以达到热平衡for k in range(nMarkov):    # 内循环，循环次数为Markov链长度# 产生新解：tourNew = mutateSwap(tourNow, nCities)      # 通过 交换操作 产生新路径valueNew = calTourMileage(tourNew,nCities,distMat) # 计算当前路径的总长度deltaE = valueNew - valueNow# 接受判别：按照 Metropolis 准则决定是否接受新解if deltaE < 0:                          # 更优解：如果新解的目标函数好于当前解，则接受新解accept = Trueif valueNew < valueBest:            # 如果新解的目标函数好于最优解，则将新解保存为最优解tourBest[:] = tourNew[:]valueBest = valueNewelse:                                   # 容忍解：如果新解的目标函数比当前解差，则以一定概率接受新解pAccept = math.exp(-deltaE/tNow)    # 计算容忍解的状态迁移概率if pAccept > random.random():accept = Trueelse:accept = False# 保存新解if accept == True:                      # 如果接受新解，则将新解保存为当前解tourNow[:] = tourNew[:]valueNow = valueNew# 平移当前路径，以解决变换操作避开 0,（n-1）所带来的问题，并未实质性改变当前路径。tourNow = np.roll(tourNow,2)                # 循环移位函数，沿指定轴滚动数组元素# 完成当前温度的搜索，保存数据和输出recordBest.append(valueBest)                # 将本次温度下的最优路径长度追加到 最优路径记录表recordNow.append(valueNow)                  # 将当前路径长度追加到 当前路径记录表print('迭代次数i:{}, 当前温度(i):{:.2f}, 当前路径长度:{:.1f}, 最优路径长度:{:.1f}'.format(iter+1, tNow, valueNow, valueBest))# 缓慢降温至新的温度，iter = iter + 1tNow = tNow * alfa                              # 指数降温曲线：T(k)=alfa*T(k-1)return tourBestdef Draw_City(City, X):X = list(X)X.append(X[0])  # 再最后再回到出发的城市coor_x = []coor_y = []for i in X:i = int(i)coor_x.append(City[i][0])  # 按照最优路径顺序将所有城市的x轴坐标写入coor_x中coor_y.append(City[i][1])plt.figure(1)for i in range(len(X) - 1):plt.quiver(coor_x[i], coor_y[i], coor_x[i + 1] - coor_x[i], coor_y[i + 1] - coor_y[i],color='r', width=0.005, angles='xy', scale=1, scale_units='xy')plt.quiver(coor_x[-1], coor_y[-1], coor_x[0] - coor_x[-1], coor_y[0] - coor_y[-1],color='r', width=0.005, angles='xy', scale=1, scale_units='xy')plt.title('基于模拟退火算法的TSP')plt.show()if __name__ == '__main__':# 随机生成城市信息nCity = 50City = np.random.uniform(0, 2000, [nCity, 2])  # uniform()生成nCity个二维数组，数值范围是0到2000# 执行算法Best_X = SA_TSP(City)# 画路径图Draw_City(City, Best_X)