abstract

• 介绍正定二次型相关概念和性质
• 二次型的分类
• 主子式

引言

• 科学技术上用的较多的二次型是正(或负)惯性指数为$n$的$n$元二次型,这类二次型是正定二次型或负定二次型

正定二次型

• 设二次形$f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}$,其中$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T$,如果对于任意的$\mathbf{x}\ne 0$都有$f(\mathbf{x})>0$,称$f$为正定二次型
• 其中$\mathbf{A}$是正定矩阵,显然:$f(0)=0^{T}A0=0$当且仅当$\mathbf{x}=0$

小结

• 虽然在定义上并没有直接说明正定二次型的标准形项数为$n$且都同号,但是通过推理可以得出此结论

可逆线性变换不改变二次型的正定性

• 若$f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}$是正定的,经过可逆变换$\mathbf{x}=\mathbf{Cy}$的$g(\mathbf{y})={\mathbf{y}}^{\mathbf{T}}\mathbf{By}$,(其中$\mathbf{B}={\mathbf{C}}^{\mathbf{T}}\mathbf{AC}$)也是正定的
• 类似的,若$f$是不正定的,则$g$也是不正定的
• 用矩阵描述:若$\mathbf{A}={\mathbf{C}}^{\mathbf{T}}\mathbf{BC}$,且$\mathbf{C}$可逆,则$\mathbf{A},\mathbf{B}$有相同的正定性
• 证明:

  • 对于可逆矩阵$\mathbf{C}$,和任意非零向量$\mathbf{z}=(z_1,\cdots ,z_n{)}^T\ne 0$,有$\mathbf{Cz}\ne 0$

    • 因为$\mathbf{C}$可逆,齐次线性方程$\mathbf{Cz}=0$只有零解
    • 从而$\mathbf{z}\ne 0$,一定由$\mathbf{Cz}\ne 0$

  • 设可逆线性变换$\mathbf{x}=\mathbf{Cy}$将$f$线性变换为$g$,$f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}={\mathbf{y}}^{\mathbf{T}}\mathbf{By}=g(\mathbf{y})$,其中,$\mathbf{x},\mathbf{y}$为$n$维列向量,$\mathbf{B}={\mathbf{C}}^{\mathbf{T}}\mathbf{AC}$

  • 为证明$g(\mathbf{y})$是正定的,就是要证明$\forall \mathbf{z}\ne 0\Rightarrow g(\mathbf{z})>0$

    • $g(\mathbf{z})={\mathbf{z}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Bz}={\mathbf{z}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{C}}^{\mathbf{T}}\mathbf{ACz}$=$(\mathbf{Cz}{)}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}(\mathbf{Cz})$
    • 记$\mathbf{r}=\mathbf{Cz}$,前面已经讨论过$\mathbf{Cz}\ne 0$,从而列向量$\mathbf{r}\ne 0$
    • $g(\mathbf{z})={\mathbf{r}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ar}=f(\mathbf{r})>0$(由$f$的正定性)
    • 从而$g(\mathbf{z})>0$,二次型$g$依然是正定的

  • 若$f$不是正定的,则需证明$\exists \mathbf{z}$ s.t.$g(\mathbf{z})⩽0$

    • 设非零向量${\mathbf{x}}_0$设$f({\mathbf{x}}_0)⩽0$,令${\mathbf{x}}_0=\mathbf{C}{\mathbf{z}}_0$,则${\mathbf{z}}_0={\mathbf{C}}^{-1}{\mathbf{x}}_0\ne 0$,则$f(\mathbf{C}{\mathbf{z}}_0)$=$g({\mathbf{z}}_0)⩽0$
    • 说明$g(\mathbf{z})$不满足正定条件,$g(\mathbf{z})$是非正定的

二次型是正定的充要条件

• $n$元实二次型$f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}$是正定的当且仅当$f$的正惯性指数为$n$
  • 若二次型$f$的正惯性指数为$n$,则$f$是正定二次型
  • 若$f$是正定二次型,则二次型$f$的正惯性指数为$n$
• 正惯性指数为$n$的等价描述:
  1. 规范形系数全为1
  2. 标准形所有系数为正数
• 证明:
  • 设可逆线性变换$\mathbf{x}=\mathbf{Cy}$将二次型$f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}$化为标准形$f(\mathbf{x})=f(\mathbf{Cy})$=$g(\mathbf{y})={\mathbf{y}}^{\mathbf{T}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{y}$=${\sum }_{i=1}^n{k}_i{y}_i^2$,$\mathbf{\Lambda }={\mathbf{C}}^{\mathbf{T}}\mathbf{AC}$=$\text{diag}(k_1,\cdots ,k_n)$
  • 充分性
    • 设标准形系数$k_i>0,i=1,2,\cdots ,n$,则任意$\mathbf{x}\ne 0$,满足$f(\mathbf{x})>0$,从而$f$就是正定的
  • 必要性
    • 用反正法证明,在$f$是正定并且标准形存在负系数的情况下,找到一个非零向量${\mathbf{x}}_0$能使$f({\mathbf{x}}_0)⩽0$(或找到一个非零向量${\mathbf{y}}_0$使$f(\mathbf{C}{\mathbf{y}}_0)⩽0$即可完成证明
    • 假设$f={\mathbf{y}}^{\mathbf{T}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{y}={\sum }_{i=1}^n{k}_i{y}_i^2$是正定的,且存在 s ∈ { 1 , ⋯ , n } s\in\{1,\cdots,n\} s∈{1,⋯,n},对应$k_s⩽0$
    • 取$\mathbf{y}={\mathbf{e}}_{\mathbf{s}}$时(其中${\mathbf{e}}_s$是单位坐标向量),${\mathbf{x}}_0={\mathbf{Ce}}_s$,$f({\mathbf{x}}_0)=f(\mathbf{C}{\mathbf{e}}_{\mathbf{s}})$=$g(e_s)$=$k_s⩽0$,
    • 显然${\mathbf{Ce}}_s\ne 0$,说明$f$不是正定的;这与$f$正定矛盾,从而$k_i>0$
  • 事实上,这个证明过程可以从标准形开始,而不需要关心线性变换$\mathbf{x}=\mathbf{Cy}$,因为任意二次型总是能够标准化,并且(可逆线性变换)标准化前后有相同的正定性

推论:正定矩阵和特征值

• 对称阵$\mathbf{A}$为正定的充要条件是$\mathbf{A}$的特征值全为正
  • $\mathbf{A}$的特征值构成的对角阵$\Lambda =\text{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$是$f={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}$的一个标准形二次型$g(\mathbf{y})={\mathbf{y}}^{\mathbf{T}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{y}$的矩阵,其正惯性指数等于$\Lambda$对角元素中的正数个数
  • 由惯性定理,$f$的正惯性指数和其任意标准形的正惯性指数一致,
  • 所以,若$\mathbf{A}$的特征值${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$全为正,则$f$的正惯性系数为$n$,从而$f$是正定的,$\mathbf{A}$是正定的

正定二次型(正定矩阵)性质

1. $n$元二次型$f={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}$=$\sum _i\sum _j{a}_{ij}{x}_i{x}_j$是正定二次型$\iff$ $\mathbf{A}=(a_{ij})$是正定矩阵

2. $a_{ii}>0,i=1,2,\cdots ,n$且$|\mathbf{A}|>0$

   • 证明:

     • 因为$f$是正定的,即当$\mathbf{x}\ne 0$时恒满足$f(\mathbf{x})>0$,如果能够找到合适的非零向量${ϵ}_i$使得$f({ϵ}_i)=a_{ii}$,那么自然得证明了$a_{ii}>0,i=1,2,\cdots ,n$

     • 令${ϵ}_i=(0,\cdots ,1,\cdots ,0)$(只有第$i$个元素是非零元素,而且等于1,${ϵ}_k$是单位坐标向量),$i=1,2,\cdots ,n$

     • 从而$f({ϵ}_k)=a_{kk},k=1,2,\cdots ,n$,又$f({ϵ}_k)>0$,

     • 所以$a_{ii}>0$,$i=1,2,\cdots ,n$

     • $|\mathbf{A}|={\prod }_i{\lambda }_i>0$

3. 矩阵$\mathbf{A}$的特征值均大于0(上一节讨论过)

4. $\mathbf{A}$和同阶单位阵$\mathbf{E}$合同

   • 正定二次型$f$的正惯性指数为$n$,所以(其标准形$f={\mathbf{y}}^{\mathbf{T}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{y}$矩阵$\Lambda$全为正数),其规范形$f={\mathbf{z}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ez}$的矩阵就是单位阵
   • 所以矩阵$\mathbf{A}$与$n$阶单位阵$\mathbf{E}$合同,即存在可逆矩阵$\mathbf{Q}$使得${\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}}\mathbf{AQ}=\mathbf{E}$

5. 存在可逆矩阵$\mathbf{P}$,使得$\mathbf{A}={\mathbf{P}}^{\mathbf{T}}\mathbf{P}$,即矩阵$\mathbf{A}$可以表示为两个互为转置矩阵的可逆矩阵的乘积

   • 由于$\mathbf{A}\simeq \mathbf{E}$,即存在可逆矩阵$\mathbf{Q}$使得${\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}}\mathbf{AQ}=\mathbf{E}$
   • 从而$\mathbf{A}=({\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}}{)}^{-1}\mathbf{E}{\mathbf{Q}}^{-1}=({\mathbf{Q}}^{-1}{)}^{\mathbf{T}}\mathbf{E}{\mathbf{Q}}^{-1}=({\mathbf{Q}}^{-1}{)}^{\mathbf{T}}{\mathbf{Q}}^{-1}$
   • 取$\mathbf{P}={\mathbf{Q}}^{-1}$,即$\mathbf{A}={\mathbf{P}}^{\mathbf{T}}\mathbf{P}$

负定二次型

• 二次形$f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}$,如果对于任意的$\mathbf{x}\ne 0$都有$f(\mathbf{x})<0$,称$f$为正定二次型
• 矩阵$\mathbf{A}$是负定矩阵

负定二次型判定条件

• 和正定二次型的判定条件相仿:

• $f={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}$是负定二次型$\iff$ $\mathbf{A}$是负定矩阵

  • 矩阵$\mathbf{A}$的特征值均为负

  • $\mathbf{A}$的负惯性指数$n$

k阶顺序主子式

• 设$\mathbf{A}=(a_{ij})$为$n$阶矩阵,正整数$k⩽n$,则$\mathbf{A}$的$k$阶顺序主子式定义为$\mathbf{A}$的前$k$行和前$k$列的交集元素,简称主子式

  • $${\Delta }_k=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1k}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{k1}& a_{k2}& \cdots & a_{kk}\end{array}\right|$$

• 一个$n$阶方阵只有$n$个主子式$(k=1,2,\cdots ,n)$,且$n$阶主子式是$\mathbf{A}$本身

• 主子式是$k$阶子式中的一种,它们的结果都是一个数

赫尔维茨定理:主子式判定二次型正定性和负定性

• 对称阵$\mathbf{A}$是正定的当且仅当$\mathbf{A}$的全部主子式均大于0,即

  • ${\Delta }_r>0$,$r=1,\cdots ,n$

• 对称阵$\mathbf{A}$是的负定的充要条件是奇数阶主子式为负,偶数阶主子式为正,即

  • ${\Delta }_1,{\Delta }_3,\cdots <0$,${\Delta }_2,{\Delta }_4,\cdots >0$
  • 可以更紧凑地表示为$(-1{)}^r{\Delta }_r>0$,$r=1,\cdots ,n$

二次型分类小结

有定二次型

• 设实二次型$f={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Ax}$对于任意$x=(x_1,\cdots ,x_n{)}^T\ne 0$,:
  • 若恒有$f>0$,则$f$是正定二次型,$\mathbf{A}$为正定矩阵
  • 若恒有$f⩾0$,则$f$是半正定二次型,$\mathbf{A}$为半正定矩阵
  • 若恒有$f<0$,则称$f$为负定二次型,$\mathbf{A}$为负定矩阵
  • 若恒有$f⩽0$,则称$f$是半负定二次型,$\mathbf{A}$称为半负定矩阵
• 上述4类情况 地二次型是有定的

不定二次型

• 若二次型$f$不是有定的,称为不定二次型