excel统计分析——正交设计

参考资料：生物统计学

单因素试验通常采用完全随机设计活动随机区组设计；两因素试验通常采用析因设计；多因素试验不考虑因素间的互作时，可以采用拉丁方设计或正交拉丁方设计；需要考虑因素间的互作时，析因设计因试验规模太大，往往因试验条件的限制而难以实施，这就需要在试验设计上想办法，寻求一种既经济合理又易于实施试验的设计方法。正交设计就是安排多因素多水平试验、寻求最优水平组合的一种高效率的试验设计方法。

正交设计（orthogonal design）是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它从试验的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。

1、正交表

（1）正交表的结构

正交设计安排试验和分析试验结果都要使用正交表，用 $L_n(k^m)$ 表示。如 $L_8(2^7)$ ，其中L代表正交表，因此正交表可简称L表。L右下角的数字n表示有n行，用这张正交表安排试验包含n个处理（水平组合）；括号内的底数k表示因素的水平数，值数m表示有m列，用这张正交表最多可以安排m个因素（含互作）。

常用的2水平正交表有 $L_4(2^3)$ ， $L_{16}(2^{15})$ ；3水平正交表有 $L_9(3^4)$ ， $L_{27}(3^{13})$ 等。

（2）正交表的特性

任何一列中，不同数字（因素水平）出现的次数相等。例如 $L_8(2^7)$ 中不同数字只有1和2，各在每一列中出现4次； $L_9(3^4)$ 中不同数字有1、2、3，各在每一列中出现3次。

任何两列中，同一行所组成的数字对出现的次数相等。例如， $L_8(2^7)$ 中（1,1）、（1,2）、（2,1）、（2,2）各出现两次， $L_9(3^4)$ 中（1,1）、（1,2）、（1,3）、（2,1）、（2,2）、（2,3）、（3,1）、（3,2）、（3,3）各出现一次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。

根据以上两个特性，用正交表安排的试验具有均衡分散和整齐可比的特点。所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部组合中的分布是均匀的。整齐可比是指每个因素的各水平间具有可比性，因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着其他因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其他因素的效应都彼此抵消。

（3）正交表的类别

正交表氛围相同水平正交表和混合水平正交表两类。相同水平正交表指表中所有因素水平均相同的正交表。混合水平正交表指因素的水平不完全一样的正交表，如 $L_8(4 \times 2^4)$ 表示该表可以安排一个4水平因素和4个2水平因素。

2、用正交表安排试验

（1）表头设计

所谓表头设计，就是把试验因素和要考虑的交互作用分别安排在正交表适当的列上。表头设计的原则是：①不让主效应间、主效应与互作间有混在现象。正交表一般都有交互列，试验因素少于列数时，尽量不要在交互列上安排试验因素，以防混杂。②考察交互作用时，需查交互作用表，把交互作用安排在合适的列上。

$L_8(2^7)$ 表头设计如下：

（2）列出试验方案

根据设计好的表头，将正交表各列（不包括交互作用列）的数字转换为各因素的水平，即为试验的正交试验方案。

3、试验结果的统计分析

正交设计资料的统计分析采用多因素方差分析模型。根据设计选择主效应和互作项。注意平方和分解中的各因素、互作和重复数计算，各因素、互作的自由度分解。

4、案例：

现有三个因素，每个因素4个水平，分别如下：

A因素：水平1：5.0，水平2：7.5，水平4：10.0，水平4：12.5

B因素：水平1：0，水平2：10，水平4：20，水平4：30

C因素：水平1：1，水平2：2，水平4：3，水平4：4

（1）试验设计

①选择正交表：3因素4水平试验，应选用 $L_n(4^m)$ 正交表，如果不需要考察交互作用，m>3即可，可以选用 $L_{16}(4^5)$ 正交表；如果要考察交互作用，则m>6，需选用 $L_{64}(4^{21})$ 正交表。本例假设3个因素间不存在交互作用，故采用 $L_{16}(4^5)$ 正交表。