线性代数笔记10--矩阵的四个基本子空间

0. 引入

矩阵
$A_{m \times n}$

1. 列空间

$C (A)$ 在 $R^m$ 中

$dim(C(A))=pivot\_column\_cnt = rank(A)=r$

2. 零空间

$N (A)$ 在 $R^{n}$ 中

$dim(N(A))=freedom\_column\_cnt=n-r$

3. 行空间

$^{\top})$ 在 $R^{n}$ 中

$dim(C(A^{\top}))=r$

3.1 求解行空间的基

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 1\\ \end{bmatrix}$
化为行最简形，都是做行变化不影响行空间。
$A\longrightarrow R=rref(A)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$

$\ne C(A)$
行空间的基就是前 $r$ 行。

4. 左零空间

$N(A^{\top})$ 在 $R^m$ 中

$dim(N(A^{\top}))=m-r$

左零空间
$(A^{\top})y=0\\ y^{\top}A=0^{\top}\\$

4.1 左零空间基的求法

与高斯若尔当方法一样。
$A'=A^{\top}$

在原矩阵后添加一个新矩阵

$[A'_{n \times m}I_{m \times m}]$
将 $A_{n \times m}$ 通过行变换为行最简形。

$[A'_{n \times m}I_{m \times m}]\longrightarrow [R_{n \times m}E_{m\times m}]$
此时作用在 $A$ 上的所有行变换就转成了 $E$ 。
$E A^{'} = I$

$r = r ank (A)$
$E$ 中的最后 $m - r$ 列构成 $A$ 左零空间的基。

举例
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 1\\ \end{bmatrix} \longrightarrow R= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}\\ EA=R\\ E= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$