前言

  文章【电机仿真】永磁同步电机模型中所提及了PMSM数学模型，模型+算法是电机控制的理论基础，但在实际控制中，需要将这两部分具象化。实际电机所需要的总是三相电流或者电压，控制对象为逆变器中的开关器件，我们需要将控制目标通过逆变器来实现，就需要建立起电流电压与逆变器开关元件之间的函数关系，该关系称之为空间矢量脉宽调制（SVPWM）算法。不管是理论还是试验，SVPWM算法总是绕不开的一点，在系统介绍矢量控制之前，需要掌握该算法的原理与实现，这有助于后续的电机控制开发。

一、空间矢量脉宽调制（SVPWM）算法

  在之前的文章中介绍了三种坐标系下的PMSM模型，这三种坐标之间是通过Park和Clark变换得来，以电流为例如图1所示，通过上述两步变换，可将正弦变换的矢量等效为恒定常数，此时即可通过控制dq轴的电流实现PMSM控制。

图1 三相电流矢量等效输出电流分量

  PMSM实际输出转矩为：
$$T_e=1.5n_p\left[{\phi }_f{i}_q+\left(L_d-L_q\right)i_d{i}_q\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$
  当满足$i_d=0$条件后，上式可变为：
$$T_e=1.5n_p{\phi }_f{i}_q\text{\hspace{1em}(2)}$$
  即可通过控制$i_q$实现$T_e$控制，以$i_d=0$矢量控制为例算法框图如下：

图2 i_d=0矢量控制算法

  由图2可得，将采集到的三相信号通过Park、Clark变换至DQ轴后，即可获得DQ轴参考电流，之后通过反Park变换与SVPWM算法，实时控制逆变器的３组IGBT就可以实现PMSM控制。在算法执行过程中，通过采样电机三相电流并将其通过Park、Clark变换至DQ轴上，通过$i_d=0$矢量控制给出相应的$i_q$，但此时仍需要将其变为实际可控的三项信号。
  在实际控制中，通过三相全控逆变器实现，其中实际控制对象为逆变器中的晶闸管，通过晶闸管开断与电压的函数关系实现电机控制，该函数关系即为SVPWM技术。

图3 三相逆变桥电路

  如图2所示，共有三组六个IGBT开关，其中上桥和下桥开关互补，规定状态0为上桥开通下桥关断，规定状态1为下桥开通上桥关断，则三组开关对应八种开关状态：[000]、[001]、[010]、[011]、[100]、[101]、[110]、[111]，则电机端线电压对应的开关函数为：
$$\{\begin{array}{l}{u}_A=\frac{2}{3}{U}_d\left(S_{14}-\frac{1}{2}{S}_{25}-\frac{1}{2}{S}_{36}\right)\\ u_B=\frac{2}{3}{U}_d\left(S_{25}-\frac{1}{2}{S}_{14}-\frac{1}{2}{S}_{36}\right)\\ u_C=\frac{2}{3}{U}_d\left(S_{36}-\frac{1}{2}{S}_{25}-\frac{1}{2}{S}_{14}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
  同时该相电压合成的空间矢量可表示为：
$$U_S=\frac{2}{3}{U}_d\left(S_{14}{e}^{j0}+S_{25}{e}^{j\frac{2}{3}\pi }+S_{36}{e}^{-j\frac{2}{3}\pi }\right)\text{\hspace{1em}(4)}$$
  合成的电压矢量图如下：

图4 电压空间矢量图

  由图4可知，通过开关组合将空间矢量划分为6个扇区，要想实现电机按照目标需求运行，就需要输入相应的目标电压矢量，结合式3、4可得，通过固定的开关组合可以得到电机需要的电压矢量，但是我们控制电压的方式为IGBT的通断时间，以第一扇区为例，

图5 第一扇区电压矢量图

  该扇区电压由[000]、[100]、[110]合成，开关开通时间依次记为$T_0$、$T_1$、$T_2$，则开关时间$T_S$可表示为：
$$T_S=T_0+T_1+T_2\text{\hspace{1em}(5)}$$
  为了合成所需的电压矢量，就需要计算出相应开关的开断时间。如图4，根据矢量分解的平衡原理可得：
$$T_S\cdot U_S=T_0\cdot U\left(000\right)+T_1\cdot U_{\left(0^{\circ }\right)}\left(100\right)+T_2\cdot U_{\left({60}^{\circ }\right)}\left(110\right)\text{\hspace{1em}(6)}$$
  则$U_1$、$U_2$可表示为：
$$\{\begin{array}{l}{U}_1=\frac{T_1}{T_S}{U}_{\left(0^{\circ }\right)}\left(100\right)\\ U_2=\frac{T_2}{T_S}{U}_{\left({60}^{\circ }\right)}\left(110\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$
  将$U_1$、$U_2$投影至$\alpha 、\beta$轴，可得：
$$\{\begin{array}{l}{U}_{\alpha }=\left|U_1\right|+\left|U_2\right|\cos 60^{\circ }\\ U_{\beta }=\left|U_2\right|\sin 60^{\circ }\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
  综上所述，当我们获得目标电压矢量之后，就能已知$U_{\alpha }、U_{\beta }$进而可以计算出相应开关的开断时间，令$U_{\left(0^{\circ }\right)}\left(100\right)、U_{\left({60}^{\circ }\right)}\left(110\right)$ 的模值为$U_m=\frac{2}{3}{U}_d$，联立式7、8可得:
$$\{\begin{array}{l}{T}_0=\left(T_S-T_1-T_2\right)\\ T_1=\left(U_{\alpha }-\frac{1}{\sqrt{3}}{U}_{\beta }\right)\cdot \frac{T_S}{U_m}\\ T_2=\frac{2}{\sqrt{3}}{U}_{\beta }\cdot \frac{T_S}{U_m}\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$
上式中$U_{\alpha }、U_{\beta }$为$U_S$在$\alpha \beta$轴上的分量，
$$\{\begin{array}{l}{U}_{\alpha }=\left|U_S\right|\cdot \cos \theta \\ U_{\beta }=\left|U_S\right|\cdot \sin \theta \end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$
  将式10代入式9中可得：
$$\{\begin{array}{l}{T}_0=T_S-T_1-T_2\\ T_1=\sqrt{3}\frac{|U_S|}{U_d}{T}_S\cdot \sin \left(\frac{\pi }{3}-\theta \right)\\ T_2=\sqrt{3}\frac{|U_S|}{U_d}{T}_S\cdot \sin \theta \end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$
上式中$U_S$为驱动电机所需要的电压矢量，$U_d$为逆变器输入直流电压大小。

二、SVPWM技术的实现

  上一小节以合成第一扇区电压矢量为例，简单介绍了SVPWM合成的原理，但是实际所需要合成的电压矢量可能出现在任意扇区，故实际SVPWM技术的实现与第二小节的理论存在差距。SVPWM的实现通常分为两步：

1. 判断扇区
2. 计算作用时间

2.1判断扇区

  由图２可得在SVPWM算法之前，需要将$U_d{U}_q$通过反Park变换，转换至$\alpha \beta$轴上，并开展SVPWM。这次定义中间变量X、Y、Z，
$$\{\begin{array}{l}X=U_{\beta }\\ Y=\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }-\frac{1}{2}{U}_{\beta }\\ Z=-\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }-\frac{1}{2}{U}_{\beta }\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$
  根据X、Y、Z的正负依次给定x、y、z的值，前者为正，后者取1，前者非正，后者取0，令$N=x+2y+4z$，即可通过N的取值来判断电压矢量扇区，如下表所示：

表1 电压矢量扇区判断

N	3	1	5	4	6	2
扇区	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ	Ⅵ

2.2计算作用时间

  联立式7、8可得：
$$\{\begin{array}{l}{U}_{\alpha }=\frac{T_1}{T_S}\cdot \left|U_{\left(0^{\circ }\right)}\left(100\right)\right|+\frac{T_2}{T_S}\left|U_{\left({60}^{\circ }\right)}\left(110\right)\right|\cdot \cos 60^{\circ }\\ U_{\beta }=\frac{T_2}{T_S}\left|U_{\left({60}^{\circ }\right)}\left(110\right)\right|\cdot \sin 60^{\circ }\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$
  化简式13可得矢量作用时间：
$$\{\begin{array}{l}{T}_1=\left(U_{\alpha }-\frac{1}{\sqrt{3}}{U}_{\beta }\right)\cdot \frac{T_S}{U_m}\\ T_2=\frac{2}{\sqrt{3}}{U}_{\beta }\cdot \frac{T_S}{U_m}\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$
  上述计算的矢量作用时间$T_1、T_2$为Ⅰ区两个矢量的总作用时间，为了合成该区的电压矢量需要来回切换开关组合，不同开关组合对应着不同的逆变器状态，为了最小化开关变换，算法需要保证每次切换仅改变一组开关，最终形成了七段式或五段式SVPWM，以七段式合成Ⅰ区电压矢量为例，如下图所示：

图6 七段式Ⅰ区开关顺序

  为了将Ⅰ区规律应用至所有区域，定义中间变量A、B、C，
$$\{\begin{array}{l}A=\frac{2T_S}{\sqrt{3}{U}_S}\cdot U_{\beta }\\ B=\frac{2T_S}{\sqrt{3}{U}_S}\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}{U}_{\beta }\right)\\ C=\frac{2T_S}{\sqrt{3}{U}_S}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}{U}_{\beta }\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$
  由上式可得，电压矢量作用时间如下表所示：

表2 电压矢量作用时间

N	3	1	5	4	6	2
$T_{first}$	-C	C	A	-A	-B	B
$T_{second}$	A	B	-B	C	-C	-A
$T_0\backslash T_7$	$\frac{1}{2}\left(T_s-T_1-T_2\right)$

上表中$T_{first}、T_{second}$分别为每个扇区中的最顺时针基本向量、最逆时针基本向量，所有扇区的顺时针方向如下图所示：

图7 6扇区基本矢量切换方向

  倘若$T_{first}+T_{second}＞T_s$，则对其过调制处理：
$$\{\begin{array}{l}{T}_{first}=\frac{T_{first}}{T_{first}+T_{second}}{T}_s\\ T_{second}=\frac{T_{second}}{T_{first}+T_{second}}{T}_s\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$

2.3确定切换时间点

  以图6为例，一个周期内需要包括两个非零向量和两个零向量共同作用，由图6结合表2，定义时间变量$T_a、T_b、T_c$，表示如下:
$$\{\begin{array}{l}{T}_a=\frac{T_0}{2}=\frac{T_7}{2}=\frac{T_S-T_{first}-T_{second}}{4}\\ T_b=T_a+\frac{T_{first}}{2}\\ T_c=T_b+\frac{T_{second}}{2}\end{array}\text{\hspace{1em}(15)}$$
  则所有扇区的切换时间点总结为下表:

表3 扇区切换时间点

N	3	1	5	4	6	2
$T_{cm1}$	$T_a$	$T_b$	$T_c$	$T_c$	$T_b$	$T_a$
$T_{cm2}$	$T_b$	$T_a$	$T_a$	$T_b$	$T_c$	$T_c$
$T_{cm3}$	$T_c$	$T_c$	$T_b$	$T_a$	$T_a$	$T_b$

三、总结

  本文以Ⅰ扇区为例介绍了SVPWM算法原理与实现过程，其中实现过程共包含三步：判断扇区、计算作用时间、确定切换时间点。后续将补充matlab的仿真文件供大家参考。