C++学习笔记:二叉搜索树

二叉搜索树

  • 什么是二叉搜索树?
  • 搜索二叉树的操作
    • 查找
    • 插入
    • 删除
  • 二叉搜索树的应用
  • 二叉搜索树的代码实现
    • K模型:
    • KV模型
  • 二叉搜索树的性能怎么样?

什么是二叉搜索树?

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

  • 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
  • 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
  • 它的左右子树也分别为二叉搜索树

在这里插入图片描述
由上图可明显得知搜索二叉树的构建方式

搜索二叉树的操作

这里插入一个搜索二叉树为样例:
int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};
在这里插入图片描述

查找

  • 从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
  • 最多查找高度次，走到到空，还没找到，则这个值不存在

插入

  • 当这个树为空树时不用多说直接插入成根节点_root
  • 当这个树不为空时,先找到所插入节点的位置,再进行插入
    比如要在下面这棵搜索树中插入9
    在这里插入图片描述

可以看出,9的位置应该在10的左子树位置:
在这里插入图片描述

在数据结构上这样就算成功插入

删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false,否则要删除的结点可能分下面几种情况:

  1. 当这个节点是叶子节点或者只有左孩子时,先让父节点指向该节点的左孩子,再删除掉该节点–直接删除
  2. 当这个节点是叶子节点或者只有右孩子时,先让父节点指向该节点的右孩子,再删除掉该节点–直接删除
  3. 这个节点既有左子树又有右子树,则先将该节点的左子树链接到右子树的最左节点,再用右子树来替换该节点–替换法删除

前两种情况都好说,例如删除下列节点中的 7 和 14:
在这里插入图片描述

删7:直接删除
在这里插入图片描述
删14:删掉14并将14的左子树链接到10的右子树
在这里插入图片描述

比较复杂的是最后一种情况:当要删除的节点既有左子树又有右子树的时候,则需要进行一些特殊调整,例如,删除下面这颗树中的3 和 8 时:
在这里插入图片描述

删除3,使用上述的第三种方法:
先将该节点的左子树链接到右子树的最左节点,再用右子树来替换该节点
在这里插入图片描述
删除 8 ,使用上述的第三种方法:
先将该节点的左子树链接到右子树的最左节点,再用右子树来替换该节点
在这里插入图片描述

以上就是二叉搜索树的插入和删除的主要思想,接下来是具体实现

二叉搜索树的应用

二叉搜索树分为两种模型,一种是单键值的K模型,另一种是拥有键值对的KV模型,而后面需要学习的map,AVL树等都会涉及到KV模型.

  1. K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
    比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
  • 以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
  • 在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
  1. KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：
  • 比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
  • 再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对

二叉搜索树的代码实现

K模型:

#pragma once#include<iostream>using namespace std;//单键值的搜索二叉树  K模型
template <class K>
struct BSTNode
{BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;K _key;BSTNode(const K& key):_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key){}};template<class K>
class BSTree
{
public:typedef BSTNode<K> Node;bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = cur;while (cur){parent = cur;if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key > key){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}return true;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}bool Find(const K& key){if (_root == nullptr)return false;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else{cout << " 存在" << endl;return true;}}return false;}bool Erase(const K& key){//空树返回falseif (_root == nullptr)return false;//寻找keyNode* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key){//这里注意一下,一定要往下一步走的时候父节点才随着改变parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{//找到了 分情况//要删除的节点左孩子或右孩子为空//左孩子为空if (cur->_left == nullptr){//若删除的是根节点if (cur == _root){_root = cur->_right;}//不是跟节点else{//判断当前节点是父节点的左孩子还是右孩子if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}//删除delete cur;}//右孩子为空else if (cur->_right == nullptr){//若删除的是根节点if (cur == _root){_root = cur->_left;}//不是跟节点else{//判断当前节点是父节点的左孩子还是右孩子if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}//删除delete cur;}//左右孩子都不为空else{//找当前节点右树的最左节点来替换Node* parent = cur;Node* subright = cur->_right;while (subright->_left){parent = subright;subright = subright->_left;}swap(cur->_key, subright->_key);//判断这个节点是parent的左孩子还是右孩子  若删除的是根节点就是右孩子,因此一定要判断if (parent->_left == subright){parent->_left = subright->_right;}else{parent->_right = subright->_right;}//删除delete subright;}//找到返回truereturn true;}}//没找到return false;}bool FindR(const K& key){return _FindR(_root ,key);}bool InsertR(const K& key){return _InsertR(_root, key);}bool EraseR(const K& key){return _EraseR(_root, key);}//C++11 强制默认构造函数BSTree() = default;~BSTree(){Destroy(_root);}BSTree(const BSTree<K>& t){_root = Copy(t._root);}BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t){swap(_root, t->_root);return *this;}private:Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr){return nullptr;}Node* NewRoot = new Node(root->_key);NewRoot->_left = Copy(root->_left);NewRoot->_right = Copy(root->_right);return NewRoot;}void Destroy(Node*& root){if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;root = nullptr;}bool _EraseR(Node*& root, const K& key){if (root == nullptr){cout << "没找到" <<key<< endl;return false;}//先找节点if (root->_key > key){return _EraseR(root->_left, key);}else if (root->_key < key){return _EraseR(root->_right, key);}else{//三种情况  左孩子空 右孩子空 左右都不空if (root->_left == nullptr){Node* tmp = root;root = root->_right;delete tmp;return true;}else if (root->_right == nullptr){Node* tmp = root;root = root->_left;delete tmp;return true;}else{//左右孩子都不为空  用左孩子的最右节点 或 右孩子的最左节点Node* subleft = root->_left;while (subleft->_right){subleft = subleft->_right;}swap(root->_key, subleft->_key);return _EraseR(root->_left,key);}}}bool _FindR(Node* root, const K& key){if (root == nullptr)return false;if (root->_key > key){return _FindR(root->_left , key);}else if (root->_key < key){return _FindR(root->_right, key);}else{cout << "找到了" << endl;return true;}}//注意 这里要用 *& 传值,以保证每次递归访问到每一个节点并能够对节点进行操作bool _InsertR(Node*& root, const K& key){if (root == nullptr){root = new Node(key);return true;}if (root->_key > key){return _InsertR(root->_left, key);}else if(root->_key < key){return _InsertR(root->_right, key);}else{return false;}}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;
};

KV模型

#pragma once#include<iostream>using namespace std;namespace kv
{template <class K, class V>struct BSTreeNode{BSTreeNode<K,V>* _left;BSTreeNode<K,V>* _right;K _key;V _value;BSTreeNode(const K& key , const V& value):_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key),_value(value){}};template<class K, class V>class BSTree{typedef BSTreeNode<K, V> Node;public:bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = cur;while (cur){parent = cur;if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){//parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(key, value);if (parent->_key > key){parent->_left = cur;}else {parent->_right = cur;}return true;}Node* Find(const K& key){if (_root == nullptr)return nullptr;Node* cur = _root;while(cur){if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else{return cur;}}return nullptr;}bool Erase(const K& key){//先找节点if (_root == nullptr)return false;Node* cur = _root;Node* parent = cur;while (cur){if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{//左子树为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = _root->_right;}if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else if (cur == parent->_right){parent->_right = cur->_right;}delete cur;}//右子树为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = _root->_left;}if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else if (cur == parent->_right){parent->_right = cur->_left;}delete cur;}//左右都不为空else{Node* parent = cur;//左子树的最右节点和cur交换Node* subleft = cur->_left;while (subleft->_right){subleft = subleft->_right;}swap(cur->_key, subleft->_key);delete subleft;}}}//没找到return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << root->_value << " ";_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;};
}

二叉搜索树的性能怎么样?

在二叉搜索树中,插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能.
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
在这里插入图片描述

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为： l o g 2 N log_2 N log2​N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为： N 2 \frac{N}{2} 2N​

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