线性回归是机器学习中最简单的模型之一，在许多应用中都有广泛的应用。本篇文章将介绍如何用线性函数、梯度下降来解决线性回归问题。

线性回归

线性回归是一种用来预测连续输出变量（也叫做响应变量）与一个或多个自变量（也叫做解释变量）之间关系的模型。它的基本形式是：

$y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+\cdots +{\beta }_n{x}_n+ϵ$

其中，$y$是目标变量，$x_i$是自变量，${\beta }_i$ 是每个自变量对应的权重，$ϵ$ 是随机误差。该方程表明，目标变量 $y$ 与自变量 $x_i$ 的关系是线性的。

线性回归的目标是找到一组权重 ${\beta }_i$，使得通过 ${\beta }_i$ 和自变量 $x_i$ 求得的 $y$ 值与实际目标变量 $y$ 值的差别最小。这个差别通常使用平方误差（Mean Squared Error，MSE）来表示：

$MSE=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(y_i-\widehat{y_i}{)}^2$

其中 $n$ 是训练数据的数量，$y_i$ 是目标变量的真实值，$\widehat{y_i}$ 是通过自变量和权重求得的预测值。

线性函数

为了使用线性函数来估计权重 ${\beta }_i$，我们首先需要定义一个线性函数，它的形式是：

$\hat{y}=f(x;w)=w_0+w_1{x}_1+w_2{x}_2+\cdots +w_p{x}_p$

其中，$w_i$ 是权重向量，$x_i$ 是输入向量。我们还可以将输入向量 $x_i$ 表示为 $[1,x_1,x_2,\cdots ,x_p]$，这样就可以用一个向量 $w$ 来表示所有的权重。这个线性函数也可以写成矩阵乘法的形式：

$\hat{y}=Xw$

其中，$X$ 是输入矩阵，它的每一行表示一个样本，每一列表示一个特征（也就是输入向量中的 $x_i$）。权重向量 $w$ 是一个列向量，它的长度等于输入向量的长度加一（因为我们增加了一个截距项 $w_0$）。

我们可以使用线性函数来估计训练数据中的目标变量 $y$ 的值，也就是将输入向量 $x_i$ 代入线性函数中得到 $\widehat{y_i}$。然后，我们可以使用 MSE 函数来计算估计值 $\widehat{y_i}$ 和真实值 $y_i$ 之间的平方误差，如下所示：

$MSE=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(y_i-\widehat{y_i}{)}^2$

我们的目标是使 $MSE$ 最小化。我们可以通过最小化 $MSE$ 来找到最优的权重向量 $w$，使得基于该向量的线性函数可以最好地拟合数据。

梯度下降

现在我们已经定义了线性函数和目标函数，我们需要找到一种方法来最小化目标函数。一种常用的方法是使用梯度下降。

梯度下降是一种数值优化算法，用于寻找一个函数的最小值。梯度下降的基本思想是，沿着函数的梯度（也称导数）的反方向进行移动，直到达到函数的最小值。梯度下降的算法包括以下几个步骤：

1. 随机初始化权重向量 $w$ 的值。
2. 计算目标函数 $MSE$ 的梯度。
3. 更新权重向量 $w$ 的值。
4. 重复步骤 2-3，直到达到收敛条件。

在第 2 步中，我们需要计算目标函数 $MSE$ 对权重向量 $w$ 的梯度。梯度是一组偏导数，它表示函数在每个方向上的变化率。对于目标函数 $MSE$，其对权重向量 $w$ 的梯度为：

${\nabla }_{w}MSE=\frac{2}{n}{X}^T(Xw-y)$

其中，${\nabla }_w$ 表示对 $w$ 向量取偏导数。这个式子可以用来计算梯度向量，它包含了每个权重向量 $w$ 对 $MSE$ 的影响程度。因此，我们可以使用梯度向量来更新权重向量，使得权重向量向最小化 $MSE$ 的方向移动。更新权重向量的公式如下所示：

$w=w-\alpha {\nabla }_{w}MSE$

其中，$\alpha$ 是学习率，它是用来控制每次迭代中的权重调整量大小的参数。我们可以根据经验来设定学习率，通常取值范围在 0.01 到 0.0001 之间。

实现代码

下面是一个 Python 实现的线性回归模型，使用了梯度下降法来最小化目标函数。该模型包括以下几个部分：

• 计算 MSE 函数和梯度向量。
• 实现梯度下降算法，并在每次迭代中更新权重向量。
• 计算训练数据和测试数据的 MSE。
• 绘制训练数据和测试数据的预测结果。