文章目录
- 1. 题目
- 2. 思路及代码实现(Python)
- 2.1 暴力法
- 2.2 回溯法
1. 题目
数字 n n n 代表生成括号的对数,请你设计一个函数,用于能够生成所有可能的并且 有效的 括号组合。
示例 1:
输入: n = 3 n = 3 n=3
输出: [ " ( ( ( ) ) ) " , " ( ( ) ( ) ) " , " ( ( ) ) ( ) " , " ( ) ( ( ) ) " , " ( ) ( ) ( ) " ] ["((()))","(()())","(())()","()(())","()()()"] ["((()))","(()())","(())()","()(())","()()()"]
示例 2:
输入: n = 1 n = 1 n=1
输出: [ " ( ) " ] ["()"] ["()"]
提示:
- 1 ≤ n ≤ 8 1 \leq n \leq 8 1≤n≤8
2. 思路及代码实现(Python)
2.1 暴力法
该思路先生成所有的 2 2 n 2^{2n} 22n 个 “(” 和 “)” 字符串构成的序列,然后检查生成的序列是否有效,一共有 n n n 对括号,共 2 n 2n 2n 个字符,每个位置存在两种不同的选择,因此总共有 2 2 n 2^{2n} 22n 种序列。
为了生成所有序列,可以使用递归。长度为 n n n 的序列就是在长度为 n − 1 n−1 n−1 的序列后加一个 “(” 或 “)”。为了检查序列是否有效,我们遍历这个序列,并使用一个变量 b a l bal bal 表示左括号的数量减去右括号的数量。如果在遍历过程中 b a l bal bal 的值小于零,或者结束时 b a l bal bal 的值不为零,那么该序列就是无效的,否则它是有效的。前者说明,遍历一段字符串时出现 “)” 大于 “(” 的数量,显然说明该子串不能成对;而后者说明整个字符串的左右括号数并不相等。
该算法的时间复杂度为: O ( 2 2 n n ) O(2^{2n}n) O(22nn),对于 2 2 n 2^{2n} 22n 个序列中的每一个,对其进行有效性的验证的复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。而空间复杂度除了存储答案组之外,还需要存储探索答案的栈深,复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。
class Solution:def generateParenthesis(self, n: int):def generate(A):if len(A) == 2*n:if valid(A):ans.append("".join(A))else:A.append('(')generate(A)A.pop()A.append(')')generate(A)A.pop()def valid(A):bal = 0for c in A:if c == '(': bal += 1else: bal -= 1if bal < 0: return Falsereturn bal == 0ans = []generate([])return ans
执行用时:71 ms
消耗内存:16.54 MB
2.2 回溯法
上述方法是遍历生成所有的可能的序列,然后再进行判断,这里我们发现有可以改进的地方,就是在生成序列时,提前跟踪序列的左右括号的数据,来决定扩展序列时所选择的括号。例如,已有子序列的左括号数量不大于 n n n,则可以放置左括号,如果右括号数量小于左括号数量,可以放置一个右括号。
该算法的复杂度分析依赖于该有效序列可以回溯出 的元素个数。这证明是第 n n n 个卡特兰数 1 n + 1 ( 2 n n ) \dfrac{1}{n+1}\dbinom{2n}{n} n+11(n2n) ,这是由 4 n n n \dfrac{4^n}{n\sqrt{n}} nn4n 渐近界定的。因此时间复杂度为 O ( 4 n n ) O(\dfrac{4^n}{\sqrt{n}}) O(n4n)。空间复杂度为保存答案和保存栈深的消耗,为 O ( n ) O(n) O(n)。
class Solution:def generateParenthesis(self, n: int):ans = []def backtrack(S, left, right):if len(S) == 2 * n:ans.append(''.join(S))returnif left < n:S.append('(')backtrack(S, left+1, right)S.pop()if right < left:S.append(')')backtrack(S, left, right+1)S.pop()backtrack([], 0, 0)return ans
执行用时:42 ms
消耗内存:16.55 MB
题解来源:力扣官方题解