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卷积神经网络

在神经网络的卷积层中，向下取整（Floor）是一种常用的策略，特别是在处理输出尺寸不是整数的情况时。当你计算出卷积层输出的尺寸（通常是宽度和高度）不是整数时，你可以简单地去掉小数部分，即对该数进行向下取整。

向下取整通常意味着在卷积操作中你可能会忽略输入矩阵（也就是图像或者上一层的输出）的一小部分。这可能导致一些空间信息的丢失，但在实践中通常不会产生重大影响。

举一个简单的例子，假设你有一个7x7的输入和一个3x3的卷积核，步长为2。通常，输出的尺寸会用以下公式来计算：

$\text{输出尺寸}=\lfloor \frac{\text{输入尺寸}-\text{核尺寸}}{\text{步长}}\rfloor +1$

如果用这个公式计算，输出尺寸会是：

$\lfloor \frac{7-3}{2}\rfloor +1=3$

这里，向下取整实际上没有影响，因为计算结果刚好是一个整数。但如果输入尺寸是8x8，那么输出尺寸会是：

$\lfloor \frac{8-3}{2}\rfloor +1=\lfloor \frac{5}{2}\rfloor +1=2+1=3$

在这个例子中，尽管精确的计算结果是3.5，但通过向下取整，输出尺寸变成了3。

使用向下取整的一个优点是它简化了实现，因为你不需要特别处理边界条件。缺点是可能会丢失一些空间信息，尤其是当步长比较大的时候。然而，在许多应用场景中，这种信息丢失通常是可以接受的。

神经网络中关于卷积池化的计算（不为整数时，卷积向下取整，池化向上取整）

对于正向传播，我们使用原始的卷积核进行卷积操作。在反向传播时，为了计算输入或权重的梯度，通常需要进行“翻转”操作。

需要注意的是，正向卷积和反向传播中的卷积（通常称为转置卷积或反卷积）在数学和实现上有一些不同。在正向传播中，卷积核与输入数据进行卷积以生成输出。而在反向传播中，我们关心的是如何改变输入或卷积核以最小化某个损失函数。

为了具体说明为什么需要翻转卷积核，考虑一维情况（二维情况是类似的）：

假设正向卷积表示为 $y=x\ast w$，其中 $x$ 是输入，$w$ 是卷积核，$y$ 是输出，‘*’ 是卷积操作。

在反向传播过程中，我们通常需要计算损失函数 $L$ 关于输入 $x$ 的梯度（$\frac{\partial L}{\partial x}$）。为了找到这个梯度，我们需要用到链式法则：

$\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial L}{\partial y}\ast \text{rot180}(w)$

其中，$\text{rot180}(w)$ 表示将 $w$ 进行180度翻转。

这样做的主要原因是数学上的一致性和计算的方便性。这样，前向和反向传播可以用相似的卷积操作来实现，大大简化了算法的实现。

简而言之，在正向传播中我们使用原始的卷积核，而在反向传播时，为了计算梯度，我们通常需要用到翻转的卷积核。这主要是为了数学和计算的方便。

在反向传播（backpropagation）过程中，通常会使用原始卷积核（kernel）的翻转版本。这里的“翻转”通常意味着沿两个空间维度（即不是批量维度或通道维度）旋转180度。

例如，如果你有一个3x3的卷积核：

$K=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$

翻转这个卷积核会得到：

$K^{\text{rot}}=\left(\begin{array}{ccc}i& h& g\\ f& e& d\\ c& b& a\end{array}\right)$

在Eigen中，使用reverse()函数并指定需要翻转的维度可以实现这一点。例如，对于一个Eigen::MatrixXf对象kernel，你可以这样翻转它：

Eigen::MatrixXf rotated_kernel = kernel.reverse();

这里简单假设reverse()默认沿两个维度翻转矩阵。实际使用中，请确保你正确地翻转了维度。

这个翻转的卷积核（或旋转180度的卷积核）通常用于反向传播过程中，以计算相对于输入的梯度。这与前向传播中使用的卷积核是同一个卷积核，只是翻转了。

【卷积神经网络中的反向传播动画演示】

通过将输入和卷积核展开（unroll）为矩阵，可以使用矩阵乘法来实现卷积和转置卷积操作。下面简要介绍如何使用这种技术。

卷积

假设我们有一个输入矩阵$X$ 和一个卷积核$K$。我们首先将$X$ 展开为一个大矩阵$X_{\text{unroll}}$，其中每一列都包含一个$K$ 能应用于$X$ 的局部区域。然后，我们将$K$ 展开为一个行向量$K_{\text{unroll}}$。

接下来，卷积操作可以通过以下矩阵乘法进行：

$O=K_{\text{unroll}}\times X_{\text{unroll}}$

其中$O$ 是输出矩阵。

转置卷积

对于转置卷积，方法基本相同，但展开和乘法的方向会有所不同。

假设我们有一个输入矩阵$Y$ 和相同的卷积核$K$。为了进行转置卷积，我们将$Y$ 展开为$Y_{\text{unroll}}$，然后执行以下矩阵乘法：

$O=X_{\text{unroll}}\times K^T$

这里，$K^T$ 是$K$ 的转置。

请注意，在这两种情况下，我们都需要格外注意矩阵的维度和展开的顺序。

卷积核和反卷积的三种实现方式

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>//卷积
Eigen::MatrixXf conv2D(const Eigen::MatrixXf& input, const Eigen::MatrixXf& kernel, int stride) {// 计算输出矩阵的尺寸int rows = (input.rows() - kernel.rows()) / stride + 1;int cols = (input.cols() - kernel.cols()) / stride + 1;// 创建输出矩阵Eigen::MatrixXf output(rows, cols);for (int i = 0; i < rows; ++i) {for (int j = 0; j < cols; ++j) {// 计算每个输出元素Eigen::MatrixXf block = input.block(i * stride, j * stride, kernel.rows(), kernel.cols());output(i, j) = (block.array() * kernel.array()).sum();}}return output;
}// deconv2D 是一个函数，用于执行反卷积（也叫转置卷积）
Eigen::MatrixXf deconv2D( const Eigen::MatrixXf& y_grad,const Eigen::MatrixXf& kernel, int stride) {// 计算输出尺寸int outputRows = (y_grad.rows() - 1) * stride + kernel.rows();int outputCols = (y_grad.cols() - 1) * stride + kernel.cols();// 初始化输出矩阵为零Eigen::MatrixXf output = Eigen::MatrixXf::Zero(outputRows, outputCols);// 进行转置卷积操作for (int i = 0; i < y_grad.rows(); ++i) {for (int j = 0; j < y_grad.cols(); ++j) {// 注意：这里我们假设步长（stride）是1，你可以通过修改下面的索引来调整步长output.block(i * stride, j * stride, kernel.rows(), kernel.cols()) += y_grad(i, j) * kernel;}}return output;
}// 转置卷积
Eigen::MatrixXf Conv2DTransposed( int rows,int cols ,const Eigen::MatrixXf& kernel, int stride)
{int r = (rows - kernel.rows()) / stride + 1;int c = (cols - kernel.cols()) / stride + 1;// 初始化输出矩阵为零Eigen::MatrixXf output1 = Eigen::MatrixXf::Zero(r * c, rows * cols);int jj =0;// 进行转置卷积操作for (int i = 0; i < r; ++i){for (int j = 0; j < c ; ++j){// 初始化输出矩阵为零Eigen::MatrixXf output = Eigen::MatrixXf::Zero(rows, cols);// 注意：这里我们假设步长（stride）是1，你可以通过修改下面的索引来调整步长output.block(i * stride, j * stride, kernel.rows(), kernel.cols()) = kernel;output1.row(jj++) = output.reshaped<Eigen::RowMajor>();}}return output1;
}
//图像转换为列
Eigen::MatrixXf im2col(const Eigen::MatrixXf& input, int kernel_rows, int kernel_cols, int stride) {int output_rows = (input.rows() - kernel_rows) / stride + 1;int output_cols = (input.cols() - kernel_cols) / stride + 1;Eigen::MatrixXf output(kernel_rows * kernel_cols, output_rows * output_cols);int col_idx = 0;for (int row = 0; row <= input.rows() - kernel_rows; row += stride){for (int col = 0; col <= input.cols() - kernel_cols; col += stride){Eigen::VectorXf col_vector = input.block(row, col, kernel_rows, kernel_cols).reshaped<Eigen::RowMajor>();//const Eigen::VectorXf col_vector = Eigen::Map<const Eigen::VectorXf, Eigen::RowMajor>(block.data(), block.size());output.col(col_idx++) = col_vector;}}return output;
}//列转换为图像
Eigen::MatrixXf col2im(const Eigen::MatrixXf& input, int original_rows, int original_cols, int kernel_rows, int kernel_cols, int stride) {Eigen::MatrixXf output = Eigen::MatrixXf::Zero(original_rows, original_cols);int col_idx = 0;for (int row = 0; row <= original_rows - kernel_rows; row += stride){for (int col = 0; col <= original_cols - kernel_cols; col += stride){Eigen::MatrixXf block = input.col(col_idx++).reshaped<Eigen::RowMajor>(kernel_rows, kernel_cols);//const Eigen::MatrixXf block = Eigen::Map<const Eigen::MatrixXf, Eigen::RowMajor>(col_vector.data(), kernel_rows, kernel_cols);output.block(row, col, kernel_rows, kernel_cols) += block;}}return output;
}int main() {// 用于测试的输入和卷积核Eigen::MatrixXf input(5, 5);input << 1, 2, 3, 4, 5,5, 4, 3, 2, 1,1, 2, 3, 4, 5,5, 4, 3, 2, 1,1, 2, 3, 4, 5;Eigen::MatrixXf kernel(3, 3);kernel << 1, 0, -1,1, 5, -1,1, 4, -1;int stride = 2;//第一种实现：正常卷积{//卷积Eigen::MatrixXf output = conv2D(input, kernel, stride);std::cout << "1: Conv2D Output:\n" << output << std::endl;//反卷积Eigen::MatrixXf output1 = deconv2D(output,kernel, stride);std::cout << "1: deconv2D output1:\n" << output1 << std::endl;}//第二种实现：转置卷积{Eigen::MatrixXf Unfold = Conv2DTransposed(input.rows(),input.cols(),kernel,stride);std::cout << "2: Unfold:\n" << Unfold << std::endl;Eigen::VectorXf Input = input.reshaped<Eigen::RowMajor>();Eigen::MatrixXf output = Unfold * Input;std::cout << "2: Conv2D Output:\n" << output << std::endl;Eigen::MatrixXf output1 =  (Unfold.transpose() * output).reshaped<Eigen::RowMajor>(input.rows(),input.cols());std::cout << "2: deconv2D output1:\n" << output1 << std::endl;}//第三种种实现：图像转换为列  矩阵相乘实现  加速运算{Eigen::MatrixXf input_unroll = im2col(input, kernel.rows(),kernel.cols(), stride);Eigen::RowVectorXf kernel_unroll = kernel.reshaped<Eigen::RowMajor>();Eigen::MatrixXf output = kernel_unroll * input_unroll ;std::cout << "3: Conv2D Output:\n" << output << std::endl;Eigen::MatrixXf output_unroll11 = kernel_unroll.transpose() * output;std::cout << "3: output_unroll11:\n" << output_unroll11 << std::endl;Eigen::MatrixXf output1 = col2im(output_unroll11, input.rows(),input.cols(),kernel.rows(),kernel.cols(), stride);std::cout << "3: deconv2D output1:\n" << output1 << std::endl;}}

1: Conv2D Output:
26 24
26 24
1: deconv2D output1:26   0  -2   0 -2426 130  -2 120 -2452 104  -4  96 -4826 130  -2 120 -2426 104  -2  96 -24
2: Unfold:1  0 -1  0  0  1  5 -1  0  0  1  4 -1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  00  0  1  0 -1  0  0  1  5 -1  0  0  1  4 -1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  00  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0 -1  0  0  1  5 -1  0  0  1  4 -1  0  00  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0 -1  0  0  1  5 -1  0  0  1  4 -1
2: Conv2D Output:
26
24
26
24
2: deconv2D output1:26   0  -2   0 -2426 130  -2 120 -2452 104  -4  96 -4826 130  -2 120 -2426 104  -2  96 -24
3: Conv2D Output:
26 24 26 24
3: output_unroll11:26  24  26  240   0   0   0
-26 -24 -26 -2426  24  26  24
130 120 130 120
-26 -24 -26 -2426  24  26  24
104  96 104  96
-26 -24 -26 -24
3: deconv2D output1:26   0  -2   0 -2426 130  -2 120 -2452 104  -4  96 -4826 130  -2 120 -2426 104  -2  96 -24

卷积的次数计算

当然可以。给定一个输入特征图的大小和一个滤波器的大小，以及卷积的步长和填充，以下是如何计算卷积后的输出特征图的维度的完整公式：

1. 高度 $H_2$ 的计算：
   $H_2=\frac{H_1-F_H+2P}{S}+1$

2. 宽度 $W_2$ 的计算：
   $W_2=\frac{W_1-F_W+2P}{S}+1$

其中：

• $H_1,W_1$ 是输入特征图的高和宽。
• $F_H,F_W$ 是滤波器的高和宽。
• $P$ 是填充的数量。
• $S$ 是步长。

以下是使用C++和Eigen库实现的示例：

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
#include <cmath>std::pair<int, int> computeConvTimes(int input_rows, int input_cols, int kernel_rows, int kernel_cols, int stride) {int rows_times = (input_rows - kernel_rows) / stride + 1;int cols_times = (input_cols - kernel_cols) / stride + 1;return {rows_times, cols_times};
}int main() {int input_rows = 5, input_cols = 5;int kernel_rows = 3, kernel_cols = 3;int stride = 2;auto [rows_times, cols_times] = computeConvTimes(input_rows, input_cols, kernel_rows, kernel_cols, stride);std::cout << "Rows can be convolved: " << rows_times << " times.\n";std::cout << "Columns can be convolved: " << cols_times << " times.\n";return 0;
}

这段代码首先定义了一个函数computeConvTimes，该函数使用上述公式计算行和列的卷积次数。然后在main函数中展示了对于给定的输入大小、核大小和步长，可以进行多少次卷积操作。