电子技术——PN结电流关系方程

平衡状态下的PN结

平衡状态下的PN结界面总共有两种电流，一种为 扩散电流 另一种为 漂移电流 。两种电流形成的平衡区域称为 耗散区 。

在平衡状态扩散电流等于漂移电流，此时静电流为0，PN结外部没有电流：

平衡状态
图中 $I_D$ 为扩散电流， $I_S$ 为漂移电流。 $x_n$ 为耗散区 $n$ 区域长度， $x_p$ 为耗散区 $p$ 区域长度， $W$ 为耗散区宽度。

$n_n$ 为 $n$ 区域主要载流子（电子）密度，等于掺杂浓度 $N_D$ ， $p_p$ 为 $p$ 区域主要载流子（空穴）密度，等于掺杂浓度 $N_A$ 。

$p_{n0}$ 为 $n$ 区域次要载流子（空穴）密度，满足 玻尔兹曼条件下的密度关系方程 $p_{n0} = \frac{n^2_i}{N_D}$ ， $n_{p0}$ 为 $p$ 区域次要载流子（电子）密度，满足 $n_{p0} = \frac{n^2_i}{N_A}$ 。 $n_i$ 为平衡次载流子密度（共价键断裂产生，与温度有关），平衡条件下有 $p_n = n_n = n_i$ 。

由于扩散区中理想下不存在任何载流子，只有 贡献原子 和 接受原子 存在，PN结界面两边存在不同的净电荷，因此扩散区将形成 势垒电压 $V_0$ ：

势垒电压

势垒电压阻止了PN结界面的浓度进一步扩散（电压与扩散方向相反），耗散区宽度处于恒定数值 $W$ ，因此PN结处于平衡状态。

外加偏置电压状态下的PN结

当PN结处于外加偏置电压 $V$ 下时，将会破坏PN结的平衡状态，此时PN结电流与外界电流一起处于 动态平衡 状态。

外界电流等于：

$I = I_D - I_S$

动态平衡下的PN结中， $p$ 和 $n$ 区域中的载流子密度不再是随位置变换的恒等函数，而是指数函数：

指数函数变化
上图描述了PN处于 正偏置 下的浓度随位置的变化曲线，正偏置电压提供了更多的能量让载流子突破势垒电压，增大了扩散电流。

此时PN结对外界的电流表现为界面 $x_p$ 与 $x_n$ 的密度梯度扩散电流，等价于 $I = I_D - I_S$ ，正偏置下表现为：

扩散电流大于漂移电流 $I_D > I_S$ ，此时会有额外的空穴进入 $n$ 区域，通过外部电路流回 $p$ 区域，因此界面 $x_n$ 处的 $p_n$ 浓度上升，同理 $x_p$ 界面的 $n_p$ 浓度也上升。

对于负偏置电压下的浓度随位置的变化曲线：

反向偏置电压增大了扩散的壁垒能量，扩散电流几乎为0，但漂移电流几乎保持不变（漂移现象由粒子热运动有关），此时 $n$ 区域中的耗散区缺少空穴，空穴通过 $n$ 区域进入耗散区，导致界面 $x_n$ 处的 $p_n$ 浓度下降，同理 $x_p$ 界面的 $n_p$ 浓度也下降，下降最低点为0（浓度不能为负数）。

通过半导体物理学，界面 $x_n$ 的密度随外界偏置电压的变化关系为：

$p_n(x_n) = p_{n0}e^{V/V_T}$

当 $V$ 为负无穷的时候（反向偏置电压无限大），此时 $p_n(x_n) = 0$ ，但当 $V$ 表现为正电压的时候， $p_n(x_n)$ 随 $V$ 指数上升（PN结单向导电性）。

同样当 $x > x_n$ 密度随位置呈现指数变化，关系为：

$p_n(x) = p_{n0} + p_{n0}(e^{V/V_T} - 1) e^{-(x-x_n)/L_p}$

当 $x = x_n$ 的时候， $p_n(x_n) = p_{n0}e^{V/V_T}$ 。

$L_p$ 称为 扩散长度 。

界面的梯度电流为：

$J_p(x) = -q D_p \frac{dp_n(x)}{dx}$

带入得到：

$J_p(x_n) = q (\frac{D_p}{L_p}) p_{n0} (e^{V/V_T} - 1)$

其中 $D_p$ 为空穴的扩散速率，与空穴的漂移速率满足 爱因斯坦关系 ：

$\frac{D_n}{\mu_n} = \frac{D_p}{\mu_p} = V_T$

$V_T$ 为热电压 $\mu_p$ 为空穴的漂移速率。

同理：

$J_n(-x_p) = q (\frac{D_n}{L_n}) n_{p0} (e^{V/V_T} - 1)$

总电流为：

$A(J_p + J_n) = Aq(\frac{D_p}{L_p} p_{n0} + \frac{D_n}{L_n} n_{p0}) (e^{V/V_T} - 1) = Aqn^2_i (\frac{D_p}{L_p N_D} + \frac{D_n}{L_n N_A}) (e^{V/V_T} - 1)$