一、题目描述

P8783 [蓝桥杯 2022 省 B] 统计子矩阵

二、算法简析

2.1 二维前缀和

我们知道，只要确定了矩阵的左上顶点和右下顶点，一个矩阵就被固定了。因此，我们可以遍历这两个顶点，达到遍历所有子矩阵的目的，复杂度会达到 $O(N^2\ast M^2)$。确定了子矩阵，就要判断子矩阵的值是否不大于 $K$。 如何能高效地得到子矩阵的值呢？答案是二维前缀和。
与普通的前缀和不同，二维前缀和 $\text{psum[i][j]}=$ 左上顶点 $(1,1)$、右下顶点 $(i,j)$ 确定的子矩阵的值。通过以下表达式，可以得到二维前缀和：

$$\text{psum[i][j] = psum[i][j - 1] + psum[i - 1][j] - psum[i - 1][j - 1] + A[i][j]}$$

有了二维前缀和，就可以以 $O(1)$ 确定左上角 $(x1,y1)$、右下角 $(x2,y2)$ 的子矩阵的值：

$$\text{matrix\_val = psum[x2][y2] - psum[x1 - 1][y2] - psum[x2][y1 - 1] + psum[x1 - 1][y1 - 1]}$$

但是，该算法的复杂度仍然有 $O(N^2\ast M^2)$，会 LTE。

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2.2 压缩维度 + 双指针

压缩维度：我们可以把二维矩阵压缩至一维：画两条线，high 表示矩阵上界（左上点只能在该行）、low表示矩阵下界（右下点只能在该行）。因此，由 high 和 low 确定的子矩阵只能由列矩阵组合而成，所以按列压缩，即按列求和。

通过遍历 high 和 low，我们可以得到所有组成子矩阵的列矩阵。

双指针：通过上文的压缩，我们得到了“子矩阵的零件”。为了得到该情况下的所有子矩阵，肯定要用双指针遍历压缩数组，得到所有组合方式。

int B[4];   // 压缩后的结果for (int i = 0; i < 4; i++)for (int j = i; j < 4; j++)\\ ...

显然，指针 j 发生了回溯，导致复杂度达到了 $O(n^2)$。如何避免发生回溯呢？利用单调性，我们可以把复杂度降为 $O(n)$。
我们规定 $\text{area(left, right) = B[left] + B[left + 1] + ... + B[right]}$。
若 $\text{area(left, right) <= K}$ 且 $\text{left + 1 <= right}$，则 $\text{area(left + 1, right) <= K}$。
若 $\text{area(left, right) > K}$ 且 $\text{right + 1 <= M}$，则 $\text{area(left, right + 1) > K}$。
显然，$\text{area(left, right)}$ 随 $\text{left}$ 单调递减，随 $\text{right}$ 单调递增。

利用单调性，我们可以得到以下结果：

• 1、随 $\text{left}$ 单调递减，若 $\text{area(left, right) <= K}$，则一共有 $\text{right - left + 1}$ 种组合方式。
• 2、我们只需要遍历 right 就能得到所有子矩阵。因为单调性，若 $\text{area(left, right) > K}$，只需要 $\text{left++}$，直到 $\text{area(left, right) <= K}$。

int B[4];   // 压缩后的结果int left = 1, right = 1;
ll tmp = 0;
for (; right <= 4; right++)
{tmp += B[right];if (tmp <= K)ans += right - left + 1;else{while (tmp > K){tmp -= B[left];left++;	}ans += right - left + 1;}	
} 

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三、AC代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int MAX = 505;
typedef long long ll;int A[MAX][MAX], N, M, K;
ll ans, psum[MAX][MAX], B[MAX];int quickin(void)
{int ret = 0;char ch = getchar();while (ch < '0' || ch > '9')ch = getchar();while (ch >= '0' && ch <= '9' && ch != EOF){ret = ret * 10 + ch - '0';ch = getchar();}return ret;
}void init(void)
{for (int i = 1; i <= N; i++)for (int j = 1; j <= M; j++)psum[i][j] = psum[i - 1][j] + A[i][j];
}void solve(void)
{for (int high = 1; high <= N; high++){for (int low = high; low <= N; low++){for (int i = 1; i <= M; i++)B[i] = psum[low][i] - psum[high - 1][i];int left = 1, right = 1;ll tmp = 0;for (; right <= M; right++){tmp += B[right];if (tmp <= K)ans += right - left + 1;else{while (tmp > K){tmp -= B[left];left++;	}ans += right - left + 1;}	} }}cout << ans << endl;
}int main()
{#ifdef LOCALfreopen("test.in", "r", stdin);#endifN = quickin(), M = quickin(), K = quickin();for (int i = 1; i <= N; i++)for (int j = 1; j <= M; j++)A[i][j] = quickin();init();solve();return 0;
}

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完