FDTD算法总结

计算电磁学(Computational Electromagnetics, CEM)是通过数值计算来研究电磁场的交叉学科。

数值求解电磁学问题的方法可以分成频域(Frequency Doamin, FD)、时域(Time Domain, TD)等两类。

频域法基于时谐微分,通过对多个采样值的傅里叶逆变换得到所需的脉冲响应,使用这种方法,每次计算只能求得一个频率点上的响应。这类方法又可进一步分成低频算法高频算法等两类。低频算法包括矩量法(Method of Moment, MoM)、频域有限差分(Finite Difference Frequency Doamin, FDFD)等;高频算法包括几何光学法、物理光学法等。

时域法按时间步进求得有关场量,一次求解可以获得很宽频带范围内的解。这类方法包括时域有限差分(Finite Difference Time Domain,FDTD)、时域有限单元(Finite Element Time Domain,FETD)等。

在时域法中,最为著名的就是FDTD。因此,本文拟对FDTD算法涉及的数理模型数值模型等内容进行简要介绍。

注1:限于研究水平,分析难免不当,欢迎批评指正。

注2:文章内容会不定期更新。

一、物理方程

1864年,Maxwell在前人工作的基础之上,建立了统一的电磁场理论,并用一组数学方程揭示了宏观电磁场的基本规律,这就是著名的Maxwell方程组。

Maxwell方程组有四个方程组成:描述电荷如何产生电场的高斯定律;论述磁单极子不存在的高斯磁定律;描述电流和时变电场怎样产生磁场的安培环路定律;描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律

\left\{\begin{matrix} \nabla \cdot \mathbf{D}=\rho\\ \nabla\cdot \mathbf{B}=0\\ \nabla\times \mathbf{H}=\boldsymbol{j}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\\ \nabla\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \end{matrix}\right.

对于各向同性线性介质,物性方程为,

\left\{\begin{matrix} \boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}\\ \boldsymbol{B}=\mu \boldsymbol{H}\\ \boldsymbol{j}=\sigma \boldsymbol{E} \end{matrix}\right.

在上述公式中,各符号含义如下:

\boldsymbol{D}电感强度
\rho电荷密度
\boldsymbol{B}磁感强度
\boldsymbol{E}电场强度
\boldsymbol{H}磁场强度
\boldsymbol{j}传导电流密度
\varepsilon介电常数在真空中,\varepsilon=\varepsilon_{0}=8.8542\times 10^{-12} C^2/N\cdot m^2
\mu磁导率在真空中,\mu =\mu_{0}=4\pi \times 10^{-7} N\cdot s^2/C^2
\sigma电导率

在三维笛卡尔坐标系下,有

\frac{\partial E_{x}}{\partial x}+\frac{\partial E_{y}}{\partial y}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=\frac{\rho }{\varepsilon }

\frac{\partial H_{x}}{\partial x}+\frac{\partial H_{y}}{\partial y}+\frac{\partial H_{z}}{\partial z}=0

\begin{matrix} \frac{\partial H_{y}}{\partial z}-\frac{\partial H_{z}}{\partial y}=\sigma E_{x}+\varepsilon \frac{\partial E_{x}}{\partial t}\\ \frac{\partial H_{z}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x}}{\partial z}=\sigma E_{y}+\varepsilon \frac{\partial E_{y}}{\partial t}\\ \frac{\partial H_{y}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x}}{\partial y}=\sigma E_{z}+\varepsilon \frac{\partial E_{z}}{\partial t} \end{matrix} 

\begin{matrix} \frac{\partial E_{y}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial y}=-\mu \frac{\partial H_{x}}{\partial t}\\ \frac{\partial E_{z}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial z}=-\mu \frac{\partial H_{y}}{\partial t}\\ \frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}=-\mu \frac{\partial H_{z}}{\partial t} \end{matrix}

二、数值模型

FDTD是美籍华人K.S. Yee 于1966 年提出的求解微分形式Maxwell方程组的数值方法。FDTD在时域上直接求解微分形式的Maxwell方程组。

2.1 空间离散

在FDTD中,Yee使用Yee Cell在空间上交叉布置电场、磁场分量。电场分量放置到Yee单元各棱的中间,方向平行于各棱;磁场分量放置到Yee单元各面中心,方向平行于各面法线。

Yee Cell

这样,每个电场分量由四个磁场分量环绕;每个磁场分量也由四个电场分量环绕。

对于安培环路定律与法拉第电磁感应定律,采用中心差分来离散磁场旋度与电场旋度。

为对于编号为\left ( i,j,k \right )的Yee Cell,其中i\in \left [ 0, n_{x}\right )j\in \left [ 0, n_{y}\right )k\in \left [ 0, n_{z}\right )n_{x}n_{y}n_{z}为计算域在三个坐标轴方向的网格数,

可得法拉第感应定律、安培环路定律在空间域上的半离散格式,

\begin{matrix}-\mu \frac{\partial H_{x}\left ( i,j,k \right )}{\partial t}= \frac{E_{y}\left ( i,j,k \right )-E_{y}\left ( i,j,k-1 \right )}{\Delta z}-\frac{E_{z}\left ( i,j,k \right )-E_{z}\left ( i,j-1,k \right )}{\Delta y}\\ -\mu \frac{\partial H_{y}\left ( i,j,k \right )}{\partial t}=\frac{E_{z}\left ( i,j,k \right )-E_{z}\left ( i-1,j,k \right )}{\Delta x}-\frac{E_{x}\left ( i,j,k \right )-E_{x}\left ( i,j,k-1 \right )}{\Delta z}\\ -\mu \frac{\partial H_{z}\left ( i,j,k \right )}{\partial t}=\frac{E_{y}\left ( i,j,k \right )-E_{y}\left ( i-1,j,k \right )}{\Delta x}-\frac{E_{x}\left ( i,j,k \right )-E_{x}\left ( i,j-1,k \right )}{\Delta y} \end{matrix}

\begin{matrix} \varepsilon \frac{\partial E_{x}\left ( i,j,k \right )}{\partial t}+\sigma E_{x}\left ( i,j,k \right )=\frac{H_{y}\left ( i,j,k \right )-H_{y}\left ( i,j,k-1 \right )}{\Delta z}-\frac{H_{z}\left ( i,j,k \right )-H_{z}\left ( i,j-1,k \right )}{\Delta y}\\ \varepsilon \frac{\partial E_{y}\left ( i,j,k \right )}{\partial t}+\sigma E_{y}\left ( i,j,k \right )=\frac{H_{z}\left ( i,j,k \right )-H_{z}\left ( i-1,j,k \right )}{\Delta x}-\frac{H_{x}\left ( i,j,k \right )-H_{x}\left ( i-1,j,k \right )}{\Delta z}\\ \varepsilon \frac{\partial E_{z}\left ( i,j,k \right )}{\partial t}+\sigma E_{z}\left ( i,j,k \right )= \frac{H_{y}\left ( i,j,k \right )-H_{y}\left ( i-1,j,k \right )}{\Delta x}-\frac{H_{x}\left ( i,j,k \right )-H_{x}\left ( i,j-1,k \right )}{\Delta y}\end{matrix}

2.2 时间离散

在时间域上,FDTD采用蛙跳格式,由此可得法拉第感应定律、安培环路定律在时间域上的半离散格式,

\begin{matrix} -\mu \frac{H_{x}^{n+\frac{1}{2}}-H_{x}^{n-\frac{1}{2}}}{\Delta t}=\frac{\partial E_{y}^{n}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}^{n}}{\partial y}\\ -\mu \frac{H_{y}^{n+\frac{1}{2}}-H_{y}^{n-\frac{1}{2}}}{\Delta t}=\frac{\partial E_{z}^{n}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}^{n}}{\partial z}\\ -\mu \frac{H_{z}^{n+\frac{1}{2}}-H_{z}^{n-\frac{1}{2}}}{\Delta t}=\frac{\partial E_{y}^{n}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}^{n}}{\partial y} \end{matrix}

\begin{matrix}\varepsilon \frac{E_{x}^{n+1}-E_{x}^{n}}{\Delta t}+ \sigma E_{x}^{n+\frac{1}{2}}=\frac{\partial H_{y}}{\partial z}-\frac{\partial H_{z}}{\partial y}\\ \varepsilon \frac{E_{y}^{n+1}-E_{y}^{n}}{\Delta t}+\sigma E_{y}^{n+\frac{1}{2}}=\frac{\partial H_{z}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x}}{\partial z}\\ \varepsilon \frac{E_{z}^{n+1}-E_{z}^{n}}{\Delta t}+\sigma E_{z}^{n+\frac{1}{2}}=\frac{\partial H_{y}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x}}{\partial y} \end{matrix}

2.3 FDTD差分方程组

结合法拉第感应定律、安培环路定律在空间域、时间域上的离散格式,可得最终差分方程组,

\begin{matrix}-\mu \frac{H_{x}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i,j,k \right )-H_{x}^{n-\frac{1}{2}}\left ( i,j,k \right )}{\Delta t}= \frac{E_{y}^{n}\left ( i,j,k \right )-E_{y}^{n}\left ( i,j,k-1 \right )}{\Delta z}-\frac{E_{z}^{n}\left ( i,j,k \right )-E_{z}^{n}\left ( i,j-1,k \right )}{\Delta y}\\ -\mu \frac{H_{y}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i,j,k \right )-H_{y}^{n-\frac{1}{2}}\left ( i,j,k \right )}{\Delta t}=\frac{E_{z}^{n}\left ( i,j,k \right )-E_{z}^{n}\left ( i-1,j,k \right )}{\Delta x}-\frac{E_{x}^{n}\left ( i,j,k \right )-E_{x}^{n}\left ( i,j,k-1 \right )}{\Delta z}\\ -\mu \frac{H_{z}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i,j,k \right )-H_{z}^{n-\frac{1}{2}}\left ( i,j,k \right )}{\Delta t}=\frac{E_{y}^{n}\left ( i,j,k \right )-E_{y}^{n}\left ( i-1,j,k \right )}{\Delta x}-\frac{E_{x}^{n}\left ( i,j,k \right )-E_{x}^{n}\left ( i,j-1,k \right )}{\Delta y} \end{matrix}

\begin{matrix} \varepsilon \frac{E_{x}^{n+1}\left ( i,j,k \right )-E_{x}^{n+1}\left ( i,j,k \right )}{\Delta t}+\sigma E_{x}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i,j,k \right )=\frac{H_{y}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i,j,k \right )-H_{y}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i,j,k-1 \right )}{\Delta z}-\frac{H_{z}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i,j,k \right )-H_{z}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i,j-1,k \right )}{\Delta y}\\ \varepsilon \frac{E_{y}^{n+1}\left ( i,j,k \right )-E_{y}^{n}\left ( i,j,k \right )}{ \Delta t}+\sigma E_{y}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i,j,k \right )=\frac{H_{z}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i,j,k \right )-H_{z}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i-1,j,k \right )}{\Delta x}-\frac{H_{x}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i,j,k \right )-H_{x}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i-1,j,k \right )}{\Delta z}\\ \varepsilon \frac{E_{z}^{n+1}\left ( i,j,k \right )-E_{z}^{n}\left ( i,j,k \right )}{\Delta t}+\sigma E_{z}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i,j,k \right )= \frac{H_{y}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i,j,k \right )-H_{y}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i-1,j,k \right )}{\Delta x}-\frac{H_{x}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i,j,k \right )-H_{x}^{n+\frac{1}{2}}\left ( i,j-1,k \right )}{\Delta y}\end{matrix}

2.4 边界条件

由于数值模拟只能选取有限区域作为计算域进行仿真计算,因此,在计算域边界处,需要给出吸收边界条件。

目前效果最好的吸收边界层是Berenger于1994年提出的完美匹配层(Perfect Matched Layer, PML)。完全匹配层是数学上在FDTD区域截断边界处虚拟设置一种特殊介质层,通过合理地选择PML的本构参数,能够使FDTD计算域的外行电磁波无反射地穿过分界面,并在吸收层内被迅速吸收分解。

2.5 源项处理

根据源项随时间的变化,源项可分为周期性源项和非周期性源项。

根据源项几何形状,可分为点源、线源、面源等。

2.6 收敛性、稳定性条件

c为计算空间内电磁波最大传播速度,\Delta t为时间步长,\delta为网格尺寸,则有

对于三维均匀网格,时间步长\Delta t、网格尺寸\delta需要满足Courant条件:c\Delta t\leq \frac{\delta }{\sqrt{3}}

对于二维均匀网格,时间步长\Delta t、网格尺寸\delta需要满足Courant条件:c\Delta t\leq \frac{\delta }{\sqrt{2}}

对于一维均匀网格,时间步长\Delta t、网格尺寸\delta需要满足Courant条件:c\Delta t\leq \delta

三、实现与测试

参考文献

  • K S Yee .Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell's equations in isotropic media[J].IEEE Transactions on Antennas & Propagation, 1966, 14(5):302-307.DOI:10.1109/TAP.1966.1138693.
  • 赖生建. 计算电磁学讲义.
  • 梁铨廷. 物理光学(第五版). 2018

网络资料

  • XFDTD
  •  FDTD++ 
  • openEMS
  • Meep  

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