数学建模【相关性模型】

一、相关性模型简介

相关性模型并不是指一个具体的模型，而是一类模型，这一类模型用来判断变量之间是否具有相关性。一般来说，分析两个变量之间是否具有相关性，我们根据数据服从的分布和数据所具有的特点选择使用pearson（皮尔逊）相关系数和spearman（斯皮尔曼）等级相关系数；分析两组变量，每组变量都有多个指标的时候，无论是pearson相关系数还是spearman等级相关系数都无能为力，所以又要介绍一个新的典型相关分析来解决这个问题。

二、适用赛题

显而易见，这些相关性模型适用于探究变量之间的关系，帮助了解它们是否存在相关性，以及相关性的强度和方向。

三、模型流程

四、流程分析

因为整个流程包含三个模型，所以会以pearson相关系数，spearman等级相关系数，典型相关分析的顺序来讲解。

注：本篇存在大量的概率论与数理统计的知识，这里并不对其中出现的知识、定理等作概念说明和详细证明

1.pearson相关系数

可以从流程图看到，应用pearson相关系数条件还是比较苛刻的。首先得是两个变量之间，其次这两个变量的数据还要服从正态分布。其实应用pearson相关系数的条件还不止，后面会全部介绍。

①正态分布检验

为什么要正态分布检验？

第一，实验数据通常假设是成对的来自于正态分布的总体。因为我们在求pearson相关系数以后，通常还会用t检验之类的方法来进行皮尔逊相关系数检验，而t检验是基于数据呈正态分布的假设的
第二，实验数据之间的差距不能太大。皮尔逊相关性系数受异常值的影响比较大
第三，每组样本之间是独立抽样的。构造t统计量时需要用到

Ⅰ正态分布JB检验（大样本 n > 30）

雅克-贝拉检验（Jarque-Bera test）

这是原理，但是在MATLAB中，代码很简单

注：有些地方正态分布峰度为0，MATLAB中是3

skewness(x) % 偏度
kurtosis(x) % 峰度

可以用这两句查询数据的偏度和峰度

MATLAB中进行JB检验的语法：

[h, p] = jbtest(x, alpha);

当输出h等于1时，表示拒绝原假设；h等于0则代表不能拒绝原假设。alpha就是显著性水平，一般取0.05，此时置信水平为1 - 0.05 = 0.95。x就是我们要检验的随机变量，注意这里的x只能是向量。

ⅡShapiro-wilk检验（小样本 3 ≤ n ≤ 50）

Shapiro-wilk 夏皮洛-威尔克检验

此操作一般在SPSS软件上进行。

②计算相关系数

pearson相关系数的原理在概率论课本上有，无论是总体还是样本。这里给出MATLAB中如何求

R = corrcoef(A) % 返回A的相关系数的矩阵，其中A的列表示随机变量(指标)，行表示观测值(样本)
R = corrcoef(A, B) % 返回两个随机变量A和B (两个向量) 之间的系数

关于pearson相关系数的总结

如果两个变量本身就是线性的关系，那么pearson相关系数绝对值大的就是相关性强，小的就是相关性弱
在不确定两个变量是什么关系的情况下，即使算出pearson相关系数，发现很大，也不能说明那两个变量线性相关，甚至不能说它们相关，我们一定要画出散点图来看才行

③假设检验

事实上，比起相关系数的大小，我们往往更关注的是显著性（假设检验）

原理这里不再给出，证明过于复杂。

这里用更好的方法：p值判断法

一行代码得到p值

[R, P] = corrcoef(test);

R返回的是相关系数表，P返回的是对应于每个相关系数的p值

注：拒绝原假设意味着pearson相关系数显著的异于0

2.spearman等级相关系数

pearson相关系数不能用，就使用spearman等级相关系数。鉴于pearson相关系数中已经介绍过正态分布检验，这里不在重复。

①计算相关系数

注：如果有的数值相同，则将它们所在的位置取算术平均。

举个例子：

在MATLAB中，代码也是很简单

coeff = corr(X, Y, 'type', 'Spearman'); % 这里的X和Y必须是列向量
coeff = corr(x, 'type', 'Spearman'); % 这时计算X矩阵各列之间的spearman相关系数

②假设检验

Ⅰ小样本情况（n ≤ 30）

直接查临界值表即可

n	单尾检验的显著水平
	.05	.025	.01	.005
	双尾检验的显著水平
	.10	.05	.02	.01
4	1.000
5	0.900	1.000	1.000
6	0.829	0.886	0.943	1.000
7	0.714	0.786	0.893	0.929
8	0.643	0.738	0.833	0.881
9	0.600	0.700	0.783	0.833
10	0.564	0.648	0.745	0.794
11	0.536	0.618	0.709	0.755
12	0.503	0.587	0.671	0.727
13	0.484	0.560	0.648	0.703
14	0.464	0.538	0.622	0.675
15	0.443	0.521	0.604	0.654
16	0.429	0.503	0.582	0.635
17	0.414	0.485	0.566	0.615
18	0.401	0.472	0.550	0.600
19	0.391	0.460	0.535	0.584
20	0.380	0.447	0.520	0.570
21	0.370	0.435	0.508	0.556
22	0.361	0.425	0.496	0.544
23	0.353	0.415	0.486	0.532
24	0.344	0.406	0.476	0.521
25	0.337	0.398	0.466	0.511
26	0.331	0.390	0.457	0.501
27	0.324	0.382	0.448	0.491
28	0.317	0.375	0.440	0.483
29	0.312	0.368	0.433	0.475
30	0.306	0.362	0.425	0.467
35	0.283	0.335	0.394	0.433
40	0.264	0.313	0.368	0.405
45	0.248	0.294	0.347	0.382
50	0.235	0.279	0.329	0.363
60	0.214	0.255	0.300	0.331
70	0.190	0.235	0.278	0.307
80	0.185	0.220	0.260	0.287
90	0.174	0.207	0.245	0.271
100	0.165	0.197	0.233	0.257

注：样本相关系数r必须大于等于表中的临界值，才能得出显著的结论。

Ⅱ大样本情况

依旧是选择更好用的p值检验法

[R, P] = corr(test, 'type', 'Spearman'); % 直接给出相关系数和p值

这里和p值和pearson相关系数假设检验那里的p值解释相同。

3.pearson相关系数和spearman等级相关系数选择

连续数据，正态分布，线性关系，用pearson相关系数是最恰当，当然用spearman等级相关系数也可以，就是效率没有pearson相关系数高
上述任一条件不满足，就用spearman等级相关系数，不能用pearson相关系数
两个定序数据之间也用spearman等级相关系数，不能用pearson相关系数

定序数据是指仅仅反映观测对象等级、顺序关系的数据，是由定序尺度计量形成的，表现为类别，可以进行排序，属于品质数据。

例如：优、良、差；我们可以用1表示差、2表示良、3表示优，但请注意，用2除以1得出的2并不代表任何含义。定序数据最重要的意义代表了- -组数据中的某种逻辑顺序。

注：斯皮尔曼相关系数的适用条件比皮尔逊相关系数要广，只要数据满足单调关系（例如线性函数、指数函数、对数函数等）就能够使用。

4.典型相关分析

声明：对于典型相关分析，其中原理、证明过于复杂，本篇不作涉及，只介绍得出结果的流程。

基本思想

典型相关分析由Hotelling提出，其基本思想和主成分分析非常相似。首先在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。然后选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对，如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。典型相关系数度量了这两组变量之间联系的强度。

①矩阵标准化变换

矩阵的标准化变换属于线性代数的知识，这里介绍为什么要对矩阵进行标准化变化的操作

典型相关分析涉及多个变量，不同的变量往往具有不同的量纲及不同的数量级别。在进行典型相关分析时，由于典型变量是原始变量的线性组合，具有不同量纲变量的线性组合显然失去了实际意义
其次，不同的数量级别会导致“以大吃小”，即数量级别小的变量的影响会被忽略，从而影响了分析结果的合理性
因此，为了消除量纲和数量级别的影响，必须对数据先做标准化变换处理，然后再做典型相关分析