数据结构-二叉树深度详解（附带源码）

目录

一、基本概念：

二、实现二叉树的数据结构：

三、二叉树性质：

四、相关计算

五、搜索二叉树：任何一颗树的左子树都比它小，右子树都比它大

六、二叉树的存储结构

七、二叉树基本操作

八、源码（有需要的同学，可以直接拿去交作业了）

头文件：

实现函数文件：

          测试文件：

运行截图：

一、基本概念：


度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度
叶节点或者终端节点：度为0的节点
非终端节或和分支节点：度不为0的节点 
双亲结点或父节点：一个节点含有子节点，这个节点称为子节点的父节点（国外有些书称为双亲结点，涉及到女权主义）
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的跟节点称为该节点的子节点
兄弟节点（亲兄弟）：还有同一个父节点的节点互称为兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为数的度
树的层数、高度、深度：从根节点开始，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推
（关于空树的高度最好从1开始，如果从0开始，空二叉树高度为0，而你只有一个根节点也称为0，矛盾）
节点的祖先:从该节点开始，往上回溯，都是该节点的祖先
子孙:该节点以下的节点都是其子孙
森林：有n棵不相交的树的集合叫做森林

二叉树就是度不超过2的树

树在实际中的应用：文件系统的目录就是一个树结构


二、实现二叉树的数据结构：


1、左孩子右兄弟法：用链表实现，每个节点有一个左孩子和一个右兄弟。每个节点只有一个左孩子但是可以有多个右兄弟


2、双亲表示法：用数组实现，每一个节点只记录其父亲


二叉树的遍历一般采用分治算法：分而治之，将大问题分成类似的子问题，直到子问题不可再分割

因为任何一颗树可以分成三个部分：
1、根节点
2、左子树
3、右子树

二叉树的四种遍历策略：
1、先序（先根）：根 左子树 右子树 。先根，再左子树，此时的左子树又可以看成以该左节点为根的左子树，再循环遍历；
直到访问到最后一个左子树，即左叶节点，此时该节点的左子树为NULL，再到右子树也为NULL，此时，该节点算访问完成，即左子树已经遍历完毕，
左子树既然遍历完了，那就自然到了右子树，如此循环


2、中序（中根）:左子树  根 右子树//也就是说实际上最小的问题是只剩下最后一个节点，再继续访问其左子树和右子树，但是为空，可以执行，不要忽略访问NULL，便于理解


3、后序（后根）：左子树 右子树 根

先序、中序、后序是相对于左子树、右子树、根节点的访问顺序而言的。
先序就是先第一个访问根节点
中序就是第二个访问根节点
后序就是最后一个访问根节点
但是不论怎么遍历，访问一棵树，总是从第一层的根节点开始的
前中后序也叫深度优先遍历
属于递归方式

4、层序遍历，也叫广度优先遍历
核心思路：一层带下一层


定义一个队列，每次出一个节点，就把该节点的左右孩子放进去，依次循环

typedef 重定义结构体只是多加了一个ytpedef，需要有完整的结构，要深入的理解typedef的意义

如果对一个代码不理解，或者对一个递归不理解
就画一个函数递归展开图

三、二叉树性质：


1、若规定根节点的层数为1，则一颗非空二叉树的i层上最多有2^(i-1)个节点
2、规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大节点数是2^k -1
3、对任意一颗二叉树，如果度为0的叶节点数为n0，度为2的分支节点的个数为n2则有n0=n2+1;
4、规定根节点层数为1，具有n个节点的满二叉树的深度为h=log2N
5、一棵有N个节点的树有N-1条边
6、二叉树深度：k=log2(N+1)

满二叉树：每一层都是的节点都是满的

满二叉树节点数N：N = 2^k -1（N为节点数）
完全二叉树：前k-1都是满的，只有最后一层不满，但是最后一层的节点依然要求有顺序，即从左到右连续


四、相关计算


计算一颗完全二叉树的高度：
h=log2(N+1+x)//最后一层缺了X个节点
由于x不可能超过N，所以，可以近似认为，完全二叉树的高度就是log2(N+1)
而事实上，log2(N+1)和log2(N)没什么区别
所以当求一个完全二叉树的深度时,k=log2N,取低位整数

普通二叉树的增删查改没有实际意义。

五、搜索二叉树：任何一颗树的左子树都比它小，右子树都比它大


这样的结构非常适用于进行搜索：找一个数字，比节点大，只可能在它的右子树，比节点小，只可能在左子树，以此类推，画图，一目了然。
增加也是同样的道理。先加左边，再加右边
搜索查找一个数，最多查找数次为其高度，效率非常高

六、二叉树的存储结构

1、顺序存储，也就是使用数组来存储。但是一般用来存储完全二叉树，如果不是完全二叉树就会造成空间的浪费

2、链式结构
有两种：一种是二叉链，一种是三叉链
二叉链就是只有两个指针，一个指向左孩子，一个指向右孩子
三叉链就是有三个指针，多一个指针指向parent

七、二叉树基本操作


1、计算二叉树的节点数：
TrreeSize();
访问一个节点，不为空，++size
一种方式是：
定义一个全局变量，再对全局变量进行++zise（前置++相较于后置++略微高效）
但是如要调用第二次调用这个函数计算其他的二叉树，就会出现累加，在使用前都要对size置0，有问题。
同时，如果同时调用多个这个函数，size只有一个，有问题，这关系到多线程的问题
所以，使用传参的方式比较合适，即你计算你的，我计算我的，互不干涉，但是注意传参数要传地址，否则Asize不会改变
还有一种方式：
return root == NULL ? 0 : TreeeSize(root->left) + TreeSize(righe) + 1;
博客画图分析，画函数递归图，
这就是一个遍历思想的后序思想

2、求叶子叶节点的个数：
if(root ==Null) return 0;
if(root->left==NULL && root->right ==NLL) return 1;
return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right);

3、先序遍历

4、中序遍历

5、后续遍历

6、层序遍历

理解了写不出来就是没有理解，或者只是理解了一部分

7、非递归层序遍历

先序和中序可以还原一一颗树：先序可以确定根，中序可以确定左右子树
但是先序和后序不可以
后序加中序也是可以得到：后续最后一个可以确定根，中国可以确定左右子树

递归要注意传址，否则返回时就会销毁，每调用一个函数就是一个函数栈帧，这个函数里面的数据的改变不会影响上一层递归函数的值
即每一层都有一个i，下一层的++i不会影响上一层的i

八、源码（有需要的同学，可以直接拿去交作业了）

队列的层序遍历需要用到队列，所以我们需要单独创建一个队列相关的功能函数。C语言麻烦就麻烦在这里，造轮子比较麻烦。

头文件：

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;
// 链式结构：表示队列 
typedef struct QueueNode
{struct QListNode* next;QDataType data;
}QNode;// 队列的结构 
typedef struct Queue
{QNode* front;//头QNode* rear;//尾int size;
}Queue;// 初始化队列 
void QueueInit(Queue* q);
// 队尾入队列 
void QueuePush(Queue* q, QDataType data);
// 队头出队列 
void QueuePop(Queue* q);
// 获取队列头部元素 
QDataType QueueFront(Queue* q);
// 获取队列队尾元素 
QDataType QueueBack(Queue* q);
// 获取队列中有效元素个数 
int QueueSize(Queue* q);
// 检测队列是否为空，如果为空返回非零结果，如果非空返回0 
int QueueEmpty(Queue* q);
// 销毁队列 
void QueueDestroy(Queue* q);
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>typedef char BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a,int* pi);
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root);
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
// 层序遍历
//void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root);

实现函数文件：

#include"BinaryTree.h"
#include"queue.h"// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int* pi)
{if (a[(*pi)] == '#') {(*pi)++;return NULL;}BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (root == NULL){perror("malloc fail \n");exit(-1);}root->data = a[(*pi)++];root->left = BinaryTreeCreate(a,pi);root->right = BinaryTreeCreate(a,pi);printf("%c ", root->data);return root;
}// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL) {printf("NULL ");return;}printf("%d ", root->data);BinaryTreePrevOrder(root->left);BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL) {printf("NULL ");return;}BinaryTreeInOrder(root->left);printf("%d ", root->data);BinaryTreeInOrder(root->right);
}
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL) {printf("NULL ");return;}BinaryTreePostOrder(root->left);BinaryTreePostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root )QueuePush(&q, root);//根、左子树、右子树//当前节点入队列，然后出队列，再把当前节点的左右子节点入队列int levelsize = 1;while (!QueueEmpty(&q)){while(levelsize--){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%d ", front->data);if (front->left)QueuePush(&q, front->left);if (front->right)QueuePush(&q, front->right);}printf("\n");levelsize = QueueSize(&q);}QueueDestroy(&q);}// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{if (root == NULL) return;BinaryTreeDestory(root->left);BinaryTreeDestory(root->right);free(root);root = NULL;printf("\n销毁成功 ");
}// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{//分治：根、左子树、右子树//等于左子树的节点个数加上右子树的节点个数if (root == NULL)return 0;return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{//左子树的叶子节点+右子树的叶子节点个数if (root == NULL)return 0;if (root->left == NULL && root->right == NULL)return  1;return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{//分治//找K层的节点个数，等于K-1层//找第三层的节点个数，就等于找第二层的下一层节点个数//如果当前已经是第K层，那就直接返回1//对于每一个节点进行判断，如果这个节点是第k层，那么返回1，不用继续往下//如果这个节点不是k层，那么就继续往下，判断他的左子树和右子树assert(k);if (root == NULL)return 0;//如果是第K层if (k - 1 == 0)return 1;//不是第k层return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{//对每一个节点进行检查//当前节点不是，找左子树和右子树//找到了，返回当前节点的值if (root == NULL)return NULL;if (root->data == x)return root;BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);if (ret1)return ret1;BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);if (ret2)return ret2;return NULL;
}// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{//依旧是进入队列//如果出队列遇到空，如果此时队列为空，就是完全二叉树//如果队列不为空，就不是完全二叉树、Queue q;QueueInit(&q);if (root == NULL)return 1;QueuePush(&q,root);//根、左子树、右子树//在层序的基础上+while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front == NULL)break;QueuePush(&q, front->left);QueuePush(&q, front->right);}//前面遇到空，跳出，如果后面还有非空的数据，那就不是完全二叉树//仅仅判断非空不行，因为空的二叉树节点也push了，此时就不是空while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front)return false;}QueueDestroy(&q);return   true;
}

#include"queue.h"
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>// 初始化队列 
void QueueInit(Queue* q)
{q->front = q->rear = NULL;q->size = 0;
}
// 队尾入队列 
void QueuePush(Queue* q, QDataType data)
{if (q == NULL)return;if ( q->front == NULL){QNode* temp = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));if (temp == NULL){perror("malloc fail!\n");exit(-1);}temp->data = data;temp->next = NULL;q->front = q->rear = temp;q->size++;}else{QNode* temp = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));if (temp == NULL){perror("malloc fail!\n");exit(-1);}temp->data = data;temp->next = NULL;q->rear->next = temp;q->rear = temp;q->size++;}
}
// 队头出队列 
void QueuePop(Queue* q)
{assert(q);if (q->front == NULL){return;}QNode* second = q->front->next;free(q->front);q->front = second;q->size--;
}// 获取队列头部元素 
QDataType QueueFront(Queue* q)
{assert(q);if(q->rear == NULL){return;}return q->front->data;
}
// 获取队列队尾元素 
QDataType QueueBack(Queue* q)
{assert(q);if (q->rear == NULL){return;}return q->rear->data;
}
// 获取队列中有效元素个数 
int QueueSize(Queue* q)
{assert(q);return q->size;
}
// 检测队列是否为空，如果为空返回非零结果，如果非空返回0 
int QueueEmpty(Queue* q)
{assert(q);if (q->size == 0){return 1;}else{return  0;}
}// 销毁队列 
void QueueDestroy(Queue* q)
{assert(q);if (q->rear == NULL){return;}QNode* cur = q->front;while (q->size--){QNode* next = cur->next;free(cur);cur = next;}
}

测试文件：

#include"BinaryTree.h"
#include"queue.h"
BTNode* BuyBinaryTreeNode(int date)
{BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (newnode == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}newnode->data = date;newnode->left = NULL;newnode->right = NULL;return  newnode;
}int main()
{BTNode* node1 = BuyBinaryTreeNode(1);BTNode* node2 = BuyBinaryTreeNode(2);BTNode* node3 = BuyBinaryTreeNode(3);BTNode* node4 = BuyBinaryTreeNode(4);BTNode* node5 = BuyBinaryTreeNode(5);BTNode* node6 = BuyBinaryTreeNode(6);BTNode* node7 = BuyBinaryTreeNode(7);BTNode* node8 = BuyBinaryTreeNode(8);node1->left = node2;node1->right = node3;node2->left = node4;node2->right = node5;node3->right = node6;node3->left = node7;printf("前序：");BinaryTreePrevOrder(node1);printf("\n");printf("中序：");BinaryTreeInOrder(node1);printf("\n");printf("后序：");BinaryTreePostOrder(node1);printf("\n");printf("层序：\n");BinaryTreeLevelOrder(node1);printf("\n");printf("叶子节点个数：%d\n", BinaryTreeLeafSize(node1));printf("第%d层节点个数：%d\n",2,BinaryTreeLevelKSize(node1, 2));//查找节点if (BinaryTreeFind(node1, 0))printf("存在：%d\n", BinaryTreeFind(node1, 0)->data);elseprintf("不存在该节点\n");//判断完全二叉树int ret = BinaryTreeComplete(node1);if(ret)printf("是完全二叉树\n");elseprintf("不是完全二叉树\n");BTDataType a[] = "ABD##E#H##CF##G##";int i = 0;BinaryTreeCreate(a,&i);BinaryTreeDestory(node1);return 0;
}

运行截图：

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