本专栏内容为：算法学习专栏，分为优选算法专栏，贪心算法专栏，动态规划专栏以及递归，搜索与回溯算法专栏四部分。 通过本专栏的深入学习，你可以了解并掌握算法。

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题目来源

本题来源为：

牛客网01背包

题目描述

题目解析

我们分析一下本道题目，体积为5，有三个物品。

有两个问题：
1.求这个背包至多能装多大价值的物品？
2.若背包恰好装满，求至多能装多大价值的物品？

这两个问题区别就是，第一个问题背包可以装满可以不装满
而第二个问题是恰好装满。

算法原理

我们先说一下什么是背包问题：

你现在有一个背包，地上有一堆物品，每个物品有自己对应的体积与价值，而每个背包的容量有限，你需要在保证自己的书包容量的同时保障价值最大。这就是背包问题。

背包问题分为好多种：
而01背包和完全背包为最为常见的两种。

01背包就是里面的物品只能选一次或者不选。
完全背包是里面的物品可以没有次数限制。

问题1.1.状态表示

经验+题目要求

这里不能用一维而是要用二维dp表，因为不仅要保证价值还要保证物品的容量，因此用二维的dp表

对于本题而言就是：

dp[i][j]表示：从前i个物品中挑选，总体积不超过j,所有选法中，能挑选出来的最大价值

2.状态转移方程

还是根据最后一步的情况来进行情况讨论

因此状态方程为：

 dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j>=v[i]&&dp[i-1][j-v[i]]!=-1)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);

3.初始化

跟之前一样，在原数组加一行一列

4.填表顺序

从上往下

5.返回值

dp[n][v]

问题2.1.状态表示

问题二跟问题一基本一样：

经验+题目要求

对于本题而言就是：

dp[i][j]表示：从前i个物品中挑选，总体积正好等于j,所有选法中，能挑选出来的最大价值

2.状态转移方程

还是根据最后一步的情况来进行情况讨论

因此状态方程为：

dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j>=v[i])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);

3.初始化

跟之前一样，在原数组加一行一列

4.填表顺序

从上往下

5.返回值

dp[n][v]

代码实现

动态规划的代码基本就是固定的四步：

1.创建dp表
2.初始化
3.填表
4.返回值

本题完整代码实现：

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;const int N=1010;int n,V,v[N],w[N];int dp[N][N];int main() 
{//读入数据cin>>n>>V;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v[i]>>w[i];}//解决第一问：for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=V;j++){dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j>=v[i])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);}}cout<<dp[n][V]<<endl;//解决第二问：memset(dp,0,sizeof dp);for(int j=1;j<=V;j++)dp[0][j]=-1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=V;j++){dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j>=v[i]&&dp[i-1][j-v[i]]!=-1)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);}}cout<<(dp[n][V]==-1?0:dp[n][V])<<endl;}

空间优化：

空间优化有两种优化方式：
1.利用滚动数组进行优化
2.直接在原来的代码上进行修改

代码实现：

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;const int N=1010;int n,V,v[N],w[N];int dp[N];int main() 
{//读入数据cin>>n>>V;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v[i]>>w[i];}//解决第一问：for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=V;j>=v[i];j--)dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);}cout<<dp[V]<<endl;//解决第二问：memset(dp,0,sizeof (dp));for(int j=1;j<=V;j++)dp[j]=-1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=V;j>=v[i];j--){if(dp[j-v[i]]!=-1)dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);}}cout<<(dp[V]==-1?0:dp[V])<<endl;}