回溯算法理论基础

文章讲解：代码随想录#回溯算法理论基础
视频讲解：带你学透回溯算法（理论篇）| 回溯法精讲！

什么是回溯法

回溯法也叫做回溯搜索法，是一种搜索的方式。
回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。
回溯法的效率并不高，它的本质就是穷举法，有时候也会有剪枝的操作。

有些问题只有通过暴力穷举才能解决，比如可以解决以下问题：

回溯法的理解

回溯法解决的问题都可以抽象成一个树形结构。
回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度就构成了树深度。
由于递归有终止条件，所以它是一棵高度有限的树。

回溯法模板

递归有三部曲，同理回溯也有三部曲。

• 回溯函数体的返回值以及参数
  回溯算法中函数返回值一般为void。
  参数不能提前确定的，需要在根据处理逻辑来确定参数。
  所以回溯函数代码如下

void backtracking(参数)

• 回溯函数终止条件
  一般情况下搜到叶子节点就找到了满足条件的一种解决方法，需要将这个方法保存起来，同时要结束本层递归。

if (终止条件) {存放结果;return;
}

• 回溯搜索的遍历过程
  回溯一般都是在集合中递归搜索 ，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成了树的深度。

for(选择：本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)){处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 继续递归回溯处理;
}

for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就会执行多少次。
其实，for循环就是横向遍历，递归就是纵向遍历。

回溯算法模板框架如下：

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}

---

LeetCode 77.组合

题目链接：77.组合
文章讲解：代码随想录#77.组合
视频讲解：带你学透回溯算法-组合问题（对应力扣题目：77.组合）| 回溯法精讲！

题目描述

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

示例1

输入：n = 4, k = 2
输出：
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]

示例2

输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]

提示

• 1 <= n <= 20
• 1 <= k <= n

思路

这是一道经典的回溯题，求的是组合，并非排列。
对于组合，【1，2】和【2，1】是一回事，对于排列【1，2】和【2，1】不相同。
组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序。
所以，这道题中某个元素进行过组合后，就需要不能再重复计算了。

那如何使用回溯算法呢？
上面说过回溯的问题都可以抽象成树形结构，盗图说明一下。

n相当于树的宽度，k相当于树的深度，每次搜索到叶子节点就表示找到了一个结果。

参考代码

typedef struct {int index;int num[100];
}Result;Result result = {0};
int **res = NULL;
int cnt = 0;void backtracking(int n, int k, int idx)
{if (result.index == k) { // 终止条件，当result中已经放入了k个元素时res[cnt] = (int*)malloc(k * sizeof(int));for(int i = 0; i < k; i++) {res[cnt][i] = result.num[i];}cnt++;return;}for (int i = idx; i <= n; i++) { // 相当于树的横向遍历result.num[result.index++] = i; // 处理节点backtracking(n, k, i + 1); // 递归遍历下一层result.index--; // 回溯result.num[result.index] = 0;}
}int** combine(int n, int k, int* returnSize, int** returnColumnSizes) {res = (int**)malloc(10000 * sizeof(int*));backtracking(n, k, 1);*returnSize = cnt;*returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) * cnt); // 需要给returnColumnSizes分配内存for (int i = 0; i < cnt; i++) {(*returnColumnSizes)[i] = k;}return res;
}

总结

1. 代码编译报这个错误，网上查到说明变量没有有效初始化，排查半天还是没有发现问题出在哪儿。
   
2. 原因终于找到了，在力扣上不能在函数外面初始化全局变量，否则就会出现各种异常现象
   
   将如下修改，提交就AC了

修改后的代码(微调整)

typedef struct {int index;int num[100];
}Result;Result result = {0};
int **res = NULL;
int cnt;  // ※※※ 切记：千万不能在这块初始化全局变量！！！void backtracking(int n, int k, int idx)
{if (result.index == k) { // 终止条件，当result中已经放入了k个元素时res[cnt] = (int*)malloc(k * sizeof(int));for(int i = 0; i < k; i++) {res[cnt][i] = result.num[i];}cnt++;return;}for (int i = idx; i <= n; i++) { // 相当于树的横向遍历result.num[result.index++] = i; // 处理节点backtracking(n, k, i + 1); // 递归遍历下一层result.index--; // 回溯result.num[result.index] = 0;}
}int** combine(int n, int k, int* returnSize, int** returnColumnSizes) {res = (int**)malloc(200000 * sizeof(int*));cnt = 0; // 初始化全局变量backtracking(n, k, 1);*returnSize = cnt;*returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) * cnt); // 需要给returnColumnSizes分配内存for (int i = 0; i < cnt; i++) {(*returnColumnSizes)[i] = k;}return res;
}

优化版本

对于部分回溯问题是可以通过减枝操作来优化效率的。
本题中可以进行减枝的地方就是循环遍历的条件，想想我们需要k个数，如果在遍历时n少于k时，那后面的循环遍历就没有必要了。
代码中的循环条件为： (int i = idx; i <= n; i++)

可以进行如下的优化：
①已经选择的元素个数为 result.index
②那还需要的元素个数为 k - result.index
③i为当前遍历的元素位置，n - i 表示剩余的元素个数
那就这样的关系： n - i + 1 >= k - result.index (剩余的元素个数要大于等于还需要的元素个数)
为什么要+1呢？因为是要包括当前的起始位置。

所以循环条件优化后为：for (int i = idx; i <= n - (k - result.index) + 1; i++)

优化后的参考代码

typedef struct {int index;int num[100];
}Result;Result result = {0};
int **res = NULL;
int cnt;void backtracking(int n, int k, int idx)
{if (result.index == k) { // 终止条件，当result中已经放入了k个元素时res[cnt] = (int*)malloc(k * sizeof(int));for(int i = 0; i < k; i++) {res[cnt][i] = result.num[i];}cnt++;return;}for (int i = idx; i <= n - (k - result.index) + 1; i++)  { // 相当于树的横向遍历result.num[result.index++] = i; // 处理节点backtracking(n, k, i + 1); // 递归遍历下一层result.index--; // 回溯result.num[result.index] = 0;}
}int** combine(int n, int k, int* returnSize, int** returnColumnSizes) {res = (int**)malloc(200000 * sizeof(int*));cnt = 0;backtracking(n, k, 1);*returnSize = cnt;*returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) * cnt); // 需要给returnColumnSizes分配内存for (int i = 0; i < cnt; i++) {(*returnColumnSizes)[i] = k;}return res;
}