CSP-202309-3-梯度求解

作为一个算法小白，本人第一次接触大模拟的题，本题的算法参考自：【CSP】202309-3 梯度求解

解题思路

1.输入处理

getchar();：从标准输入读取一个字符。这里它的作用可能是用来“吃掉”（消耗）前一个输入后留下的换行符。确保getline能正确读取到下一行文本。
getline(cin, op);：从标准输入流cin中读取一行文本，直到遇到换行符（用户按下回车键），然后将读取到的文本（不包括换行符）存储到之前声明的字符串变量中。

2.逐个处理表达式中的元素

(1)变量 $x_i$ 的表示

struct elem {int index; // 变量索引，即x的下标long long value; // 变量值long long derivative; // 对应变量的导数值
};

注意，这里因为最后求的是导函数的值，而无需记录导数的形式。例如，对于 $f(x)=x^2,x=1$ ，其导函数 $f^{'} (x) = 2 x$ ，这里我们直接记录 $f^{'} (1) = 2$ ，即derivative=2。

(2)将数字字符串转换为长整型

long long str2ll(string a) {int sign = 1; // 判断是正数还是负数long long ans = 0;if (a[0] == '-')sign = -1;for (int i = 0; i < a.length(); i++) {if (a[i] != '-')ans = 10 * ans + (a[i] - '0');}return ans * sign;
}

(3)使用 `stringstream` 逐个处理 `op` 字符串中的元素

std::stringstream 是一个流类，可以像输入/输出流一样操作字符串。允许把字符串分割成多个部分，根据空白字符（如空格、制表符等）来拆分原始字符串。
循环的作用是逐个读取 op 字符串中的每个以空格分隔的子字符串，并在每次迭代中处理这些子字符串。这种处理方式对于解析和执行基于逆波兰表示法（RPN）的算术表达式非常有效，因为它允许程序按照操作的顺序（从左到右）逐步计算表达式的结果。

stringstream ss(op);
string s;
while (ss >> s) {}

(4)逆波兰式的处理逻辑

题目所给的字符串只涉及：x，x的索引，运算符+-*，常数。

整理来看可以分为两类：变量+运算符，这也就明确了处理的逻辑。

变量 $x_i$ ，存入elem中。

if (s[0] == 'x') {elem a;a.index = str2ll(s.substr(1, s.length() - 1)); // 得到变量下标a.derivative = xIndex == a.index ? 1 : 0; // 该变量是否要被求偏导（导数是 1，否则为 0）a.value = value[a.index]; // 变量在给定的值数组中的值st.push(a); // 将包含变量信息的结构体 a 压入栈中，以便后续计算表达式的值和导数（和数字运算一样）
}

运算符，由于求导运算本质上还是算数运算，并且是给定了变量值，本质上还是我们之前遇到过的算数运算的规则：遇到运算符，移出栈顶的两个操作数，进行对应的运算，res用于保存运算结果。
```
elem op2 = st.top();
st.pop();
elem op1 = st.top();
st.pop();
elem res;
```

由于求的是导数，这里的+-*不再是普通意义上的+-*，要符合导数运算的规则。

switch (s[0]) {
case '+': {res.value = ((op1.value + op2.value) % MOD + MOD) % MOD;res.derivative = ((op1.derivative + op2.derivative) % MOD + MOD) % MOD;break;
}
case '-': {res.value = ((op1.value - op2.value) % MOD + MOD) % MOD;res.derivative = ((op1.derivative - op2.derivative) % MOD + MOD) % MOD;break;
}
case '*': {res.value = ((op1.value * op2.value) % MOD + MOD) % MOD;res.derivative = ((op1.derivative * op2.value + op1.value * op2.derivative) % MOD + MOD) % MOD;
}
}
st.push(res);

常数，类似于非变量的 $x_i$ 。

else {elem a;a.value = str2ll(s);a.derivative = 0;st.push(a);
}

最终，栈顶的结果即为运算结果。

3.完善代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <stack>
#include <sstream>using namespace std;// 定义一个结构体 elem，用于表示表达式中的元素
struct elem {int index; // 变量索引long long value; // 变量值long long derivative; // 对应变量的导数
};const long long MOD = 1000000007; // 模数// 将字符串转换为长整型
long long str2ll(string a) {int sign = 1; // 判断是正数还是负数long long ans = 0;if (a[0] == '-')sign = -1;for (int i = 0; i < a.length(); i++) {if (a[i] != '-')ans = 10 * ans + (a[i] - '0');}return ans * sign;
}int main() {int n, m;cin >> n >> m; // 输入变量个数和表达式数量string op;getchar();getline(cin, op); // 获取表达式字符串vector<elem> expr;stack<elem> st;for (int i = 0; i < m; i++) {int xIndex;vector<long long> value(n + 1);cin >> xIndex; // 输入变量xi,其余均视为常量for (int j = 1; j <= n; j++)cin >> value[j]; // 输入每个变量的值stringstream ss(op);string s;while (ss >> s) {// 判断是否是变量if (s[0] == 'x') {elem a;a.index = str2ll(s.substr(1, s.length() - 1)); // 得到变量的索引a.derivative = xIndex == a.index ? 1 : 0; // 变量对目标变量的导数是 1，否则为 0a.value = value[a.index]; // 变量在给定的值数组中的值st.push(a); // 将包含变量信息的结构体 a 压入栈中，以便后续计算表达式的值和导数}// 检查当前读取到的字符串 s 是否只有一个字符且为加号、减号或乘号。如果是这三个运算符之一，就执行相应的运算逻辑else if (s.length() == 1 && (s[0] == '+' || s[0] == '-' || s[0] == '*')) {// 处理运算符的逻辑elem op2 = st.top();st.pop();elem op1 = st.top();st.pop();elem res;switch (s[0]) {case '+': {res.value = ((op1.value + op2.value) % MOD + MOD) % MOD;res.derivative = ((op1.derivative + op2.derivative) % MOD + MOD) % MOD;break;}case '-': {res.value = ((op1.value - op2.value) % MOD + MOD) % MOD;res.derivative = ((op1.derivative - op2.derivative) % MOD + MOD) % MOD;break;}case '*': {res.value = ((op1.value * op2.value) % MOD + MOD) % MOD;res.derivative = ((op1.derivative * op2.value + op1.value * op2.derivative) % MOD + MOD) % MOD;}}st.push(res);}else {elem a;a.value = str2ll(s);a.derivative = 0;st.push(a);}}long long ans = st.top().derivative;cout << ((ans % MOD) + MOD) % MOD << endl; // 输出结果取模}return 0;
}