逻辑回归为什么使用交叉熵而不用均方差？或者说逻辑回归的损失函数为什么不用最小二乘？

下面主要从两个角度进行阐述：

• 从逻辑回归的角度出发，逻辑回归的预测值是一个概率，而交叉熵又表示真实概率分布与预测概率分布的相似程度，因此选择使用交叉熵
• 从均方差(MSE)的角度来说，预测值概率与欧式距离没有任何关系，并且在分类问题中，样本的值不存在大小比较关系，与欧式距离更无关系，因此不适用MSE

1、损失函数的凸性（使用MSE可能会陷入局部最优）

前面我们在介绍线性回归时，我们用到的损失函数是误差（残差）平方和

$$L=\sum _{i=1}^m(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2=\sum _{i=1}^m(y_i-x_i\omega {)}^2$$

这是一个凸函数，有全局最优解

如果逻辑回归也使用误差平方和，由于逻辑回归假设函数的外层函数是Sigmoid函数，Sigmoid函数是一个复杂的非线性函数，这就使得我们将逻辑回归的假设函数代入上式时，即
$$L=\sum _{i=1}^m{\left(y_i-\frac{1}{1+e^{-x_i\omega }}\right)}^2$$

那么，我们得到的$L$是一个非凸函数，不易优化，容易陷入局部最优解。所以逻辑回归的损失函数使用的是对数损失函数（Log Loss Function）

在逻辑回归（详见：传送门）一文中，我们已经给出了KL散度与交叉熵的关系
$$交叉熵=KL散度+信息熵$$

即交叉熵等于KL散度加上信息熵。而信息熵是一个常数，并且在计算的时候，交叉熵相较于KL散度更容易，所以我们直接使用了交叉熵作为损失函数

因此，我们在最小化交叉熵的时候，实际上就是在最小化 KL散度，也就是在让预测概率分布尽可能地与真实概率分布相似

2、MSE的损失小于交叉熵的损失（导致对分类错误点的惩罚不够）

逻辑回归的数学表达式如下
$$h_{\theta }(x)=\mathrm{g}({\theta }^{\mathrm{T}}\mathrm{x})=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-{\theta }^{\mathrm{T}}\mathrm{x}}}$$

对于一元逻辑回归，其预测值为
$$\hat{y}=\sigma (\omega x+b)$$

其中，$\sigma$为Sigmoid函数

如果使用均方差作为损失函数，我们以一个样本为例，为方便计算，我们给均方差除以2（不改变函数的单调性）
$$C=\frac{1}{2}(y-\hat{y}{)}^2$$

其中$\hat{y}$=$\sigma (z)$=$\frac{1}{1+e^{-z}}$，$z$=$\omega x+b$，使用梯度下降法对$\omega$进行更新，那么就需要将损失函数对$\omega$进行求偏导数
$$\frac{\partial C}{\partial \omega }=(y-\hat{y}){\sigma }^{\prime }(z)x=(y-\hat{y})\hat{y}(1-\hat{y})x$$

具体计算过程可参考如下或文末参考文章

可以看到，均方差损失函数的梯度与激活函数（Sigmoid函数）的梯度成正比，当预测值接近于1或0时，梯度会变得非常小，几乎接近于0，这样会导致当真实值与预测值差距很大时，损失函数收敛的很慢，无法进行有效学习，与我们的期望不符合

因此，如果使用均方差损失，训练的时候可能看到的情况是预测值和真实值之间的差距越大，参数调整的越小，训练的越慢

如果使用交叉熵作为损失函数，对于二分类问题，交叉熵的形式是由极大似然估计下概率的连乘然后取对数得到的（推导见文章：传送门）
$$C=-[y\ln \hat{y}+(1-y)\ln (1-\hat{y})]$$

关于$\omega$求偏导数得
$$\frac{\partial C}{\partial \omega }=(\sigma (z)-y)x$$

可以看到，交叉熵损失函数的梯度和当前预测值与真实值之间的差是有关的，没有受到Sigmoid函数的梯度的影响，且真实值与预测值的差越大，损失函数的梯度就越大，更新的速度也就越快，这正是我们想要的

参考文章：https://zhuanlan.zhihu.com/p/453411383?login=from_csdn