前言

今天是初八，在中国某些地方初八有拜财神的习俗，“八”谐音“发”，等同于恭喜发财的“发”，寓意着在新的一年里红红火火发大财，三叔首先祝福各位读者2024年发大财行大运。恰好前几天晚上在家看cctv6频道的《流浪地球2》脑海中突然涌现出一幅画面，一副关于宇宙间两个星系相互吸引相互排斥形成漩涡的画面，一直想知道具体哪个物理现象或者数学名字，结果半天没想起来，渐渐的把这事给淡忘了，后来莫名的在心头涌现出——双纽线，便心领神会了。

双纽线

早在1694 年，雅各布· 伯努利就开始对双纽线进行了研究，雅各布· 伯努利把双纽线作为椭圆的一种类比来进行处理，所以双纽线也叫伯努利双纽线。

设直线段AB的长度为$2a$，若有一动点$P(x,y)$满足$|PA|\cdot |PB|=a^2$，那么点P的轨迹就是双纽线，见图1所示，双纽线可以看成到两定点距离之积为定值的点的轨迹。根据定义可以很快得到双纽线的曲线方程

$$(x^2+y^2{)}^2=2a^2(x^2-y^2)$$

伯努利双纽线在极坐标方程
$$r^2=2a^{2}cos2\theta$$

双纽线工程化

下面给出pyecharts和manim两种工程化方法

• matplotlib

效果预览

核心代码

import matplotlib.pyplot as plt #导入绘图模块
import math #导入数学模块thetas =[] #用来存放极角
rhos = [] #用来存放极径for i in range(0, 361):theta = i*math.pi/180rho = math.sqrt(2)*(math.cos(2*theta))**(1/2)thetas.append(theta)rhos.append(rho)fig = plt.figure() #新建画布
plt.polar(thetas, rhos, color = "red") #极坐标画图
plt.show()

• manim

预览效果

核心代码

# -*- encoding: utf-8 -*-
'''
@Project :   lemniscate
@Desc    :   伯努利双纽线
@Time    :   2024/02/13 17:56:53
@Author  :   帅帅de三叔,zengbowengood@163.com
'''
from manim import *
import mathclass Lemniscate(Scene):"""伯努利双纽线"""def construct(self):polarplane = PolarPlane(azimuth_units="PI radians",size=6,azimuth_label_font_size=33.6,radius_config={"font_size": 33.6},).add_coordinates()graph = polarplane.plot_polar_graph(lambda theta: 2.5*math.sqrt(2)*(math.cos(2*theta)**(1/2)), theta_range=[0.0*PI, 2*PI])self.add(polarplane, graph)with tempconfig({'quality': 'medium_quality', 'preview': True}):scene = Lemniscate()scene.render()       

双纽线应用

双纽线虽然构造简单基础，但是双纽线不仅体现了数学美的对称、和谐、抽象、简洁、精确、统一、奇异、突变，同时也具有特殊价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素还有丰富的寓意延申。

（1）祝福寓意，双纽线函数图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，在中国8是个简单的数字，但是现代人却给了它更丰富的意思。在南方那是发财的意思，因为和汉字“发”谐音。
（2）在纺织中的应用： 伯努利双纽线在纺织中作为花纹得到广泛应用， 用双纽线编织的布料外形美观，结构紧密，具有重复性和渐变性，通过双纽线的外延和内涵，在不对其变形的基础上，对双纽线函数图形进行可用图式的概括，在此基础上可以创作出许多优秀的艺术作品。
（3）在增压器中的应用： 伯努利双纽线无撞击双进气拓宽流量增压器在工业中得到广泛应用。
（4）在赌博术中的应用：在雅各布·伯努利的《猜度术》一书中，将伯努利双纽线广泛应用到赌博术中。
（5）无人机飞线控制，绕八轨迹线，经过绕八线飞出来的无人机轨迹更具有层次感和立体感；

参考文献

1，百度百科——双纽线
https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%8C%E7%BA%BD%E7%BA%BF/3726722?fr=ge_ala
2，高等数学常用曲线(四)——双纽线
https://zhuanlan.zhihu.com/p/594056722?utm_id=0
3，一种迷人的几何形状—伯努利双纽线，连接复分析与代数几何的桥梁
https://baijiahao.baidu.com/s?id=1763178327645871383&wfr=spider&for=pc
4，技术分享 | 四旋翼丝滑“绕⼋”⾃主轨迹运动
https://www.jianshu.com/p/82e0903742d7