备战蓝桥杯---图论之最小生成树

首先,什么是最小生成树?

他就是无向图G中的所有生成树中树枝权值总和最小的

如何求?

我们不妨采用以下的贪心策略:

Prim算法(复杂度:(n+m)logm):

我们对于把上述的点看成两个集合,一个是确定了最小生成树的点,一个还没有确定,我们只要不断把距离已经确定的集合的最短的边添加进去即可。假如我们加的距离不是最小的,那么当我们假设未确定的点已经构成了他们点的最小生成树,那么我们此时用距离最小的去添加他们肯定更优。(我们对于那先未确定的点的集合,不管用什么边去联系他们任何一个点,都不会影响他们以后的最小生成树的形状,这也是贪心当前最优解可以推出全局最优解的保证)

来道模板题:

因为传递消息,至少连n-1条边,又要距离min,相当于求最小生成树,下面是AC代码(我们可以优化一下,对于还未拿出的边,若有一个比他长的则不放入队列):

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,head[100010],a,b,v,cnt,sum;
struct node{int len,dian,next;
}edge[1000005];
void addedge(int x,int y,int v){edge[++cnt].len=v;edge[cnt].dian=y;edge[cnt].next=head[x];head[x]=cnt;
}
int dis[100010];
struct ty{int bian,name;bool operator<(const ty &a) const{return bian>a.bian;}
};
bool vis[1000001];
priority_queue<ty> q;
int prim(){q.push({0,1});while(!q.empty()){ty ck=q.top();q.pop();if(vis[ck.name]==1) continue;vis[ck.name]=1;sum+=ck.bian;for(int i=head[ck.name];i!=-1;i=edge[i].next){if(vis[edge[i].dian]==1) continue;if(dis[edge[i].dian]<=edge[i].len) continue;dis[edge[i].dian]=edge[i].len;q.push({edge[i].len,edge[i].dian});}}return sum;
}
int main(){memset(head,-1,sizeof(head));memset(vis,0,sizeof(vis));memset(dis,0x3f,sizeof(dis));cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&a,&b,&v);addedge(a,b,v);addedge(b,a,v);}cout<<prim();
}

Kruskal算法(复杂度:mlogm):

还是采取贪心策略,只不过这次是直接选所有边下的最短边,若他们连起来还是树,就连起来,反之舍弃,用并查集维护即可。

首先,我们注意到如果每一次都可以选min的n-1条边就是最优的情况

是,在实际上,可能边会在同一个并查集中,说明这条边可以发挥构成树的作用,当时已经存在一点,他的作用是一样的,但是它的距离更小,因此更优。换句话说,我们就是在选n-1个在构建生成树的发挥不同作用的边,而之所以要放弃,是因为功能的重叠。

综上,这样选取的策略最优。

下面给出AC代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,fa[100010],a,b,v,cnt,sum;
struct node{int len,x,y;
}edge[1000005];
bool cmp(node a,node b){return a.len<b.len;
}
int find(int x){if(fa[x]==x) return x;else return fa[x]=find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y){fa[find(x)]=find(y);
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&a,&b,&v);edge[++cnt].x=a;edge[cnt].y=b;edge[cnt].len=v;}sort(edge+1,edge+1+m,cmp);for(int i=1;i<=m;i++){int xx=find(edge[i].x);int yy=find(edge[i].y);if(xx==yy) continue;sum+=edge[i].len;merge(xx,yy);}cout<<sum;
}

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