II. SYSTEM MODEL AND PROBLEM FORMULATION

C. Problem Formulation

为了揭示支持 MA 的MIMO通信的基本容量限制，我们假设在发送端和接收端都有完美的CSI。MIMO信道容量由下式给出

$$\begin{array}{c}C=\underset{\mathbf{Q}:\text{Tr}(\mathbf{Q})\le \mathrm{P},\mathbf{Q}⪰0}{\max }{\log }_2\det \left({\mathbf{I}}_M+\frac{1}{{\sigma }^2}\mathbf{H}(\tilde{\mathbf{r}})\mathbf{QH}(\tilde{\mathbf{r}}{)}^H\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

我们的目标是通过联合优化MA位置 $\tilde{\mathbf{r}}$ 和发射协方差矩阵 $\mathbf{Q}$ 来最大化MA- MIMO信道的容量，同时要遵守MA-位置的最小距离约束和发射机的和功率约束。因此，该优化问题被表述为

$$\begin{array}{rl}(\mathrm{P}1)\underset{\tilde{\mathbf{r}},\mathbf{Q}}{\max }& {\log }_2\det \left({\mathbf{I}}_M+\frac{1}{{\sigma }^2}\mathbf{H}(\tilde{\mathbf{r}})\mathbf{QH}(\tilde{\mathbf{r}}{)}^H\right)\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.& \tilde{\mathbf{r}}\in \mathcal{C},\\ & \Vert {\mathbf{r}}_k-{\mathbf{r}}_l{\Vert }_2\ge D,k,l=1,2,\dots ,M,k\ne l,\\ & \text{Tr}(\mathbf{Q})\le \mathrm{P},\\ & \mathbf{Q}⪰0.\end{array}\text{\hspace{1em}(6a)(6b)(6c)(6d)(6e)}$$

注意，问题(P1)是一个非凸优化问题，因为目标函数在上是非凹的，关于MA位置 $\tilde{\mathbf{r}}$， (6c)中的最小距离约束是非凸的。此外，在(P1)的目标函数中，传输协方差矩阵 $\mathbf{Q}$ 与 $\tilde{\mathbf{r}}$ 相耦合，这使得(P1)具有解决的挑战性。

log-determinant 是很容易证明是凹函数，详细的证明过程可以参考这个网站。但是 $\mathbf{H}(\tilde{\mathbf{r}})$ 是无法确定的。因此无法确定凹凸性。

III. PROPOSED ALGORITHM

A. Alternating Optimization

1. Optimization of $\mathbf{Q}$ with given { r m } m = 1 M \{\boldsymbol{r}_{m}\}_{m=1}^{M} {rm​}m=1M​

注意，在给定 $\mathbf{H}(\tilde{\mathbf{r}})$ 的情况下，(P1)是 $\mathbf{Q}$ 上的一个凸优化问题，最优解由本征模传输（eigenmode transmission）给出。

2. Optimization of ${\mathbf{r}}_m$ with given $\mathbf{Q}$ and { r k , k ≠ m } k = 1 M \{\boldsymbol{r}_{k},k\neq m\}_{k=1}^{M} {rk​,k=m}k=1M​

$$\begin{array}{rl}f(\tilde{\mathbf{r}})& \triangleq {\log }_2\det \left({\mathbf{I}}_M+\frac{1}{{\sigma }^2}\mathbf{H}(\tilde{\mathbf{r}})\mathbf{QH}(\tilde{\mathbf{r}}{)}^H\right)\\ & ={\log }_2\det \left({\mathbf{I}}_M+\frac{1}{{\sigma }^2}\mathbf{W}(\tilde{\mathbf{r}})\mathbf{W}(\tilde{\mathbf{r}}{)}^H\right)\\ & \stackrel{(\mathrm{a})}{=}{\log }_2\det \left({\mathbf{I}}_N+\frac{1}{{\sigma }^2}\mathbf{W}(\tilde{\mathbf{r}}{)}^H\mathbf{W}(\tilde{\mathbf{r}})\right)\\ & ={\log }_2\det \left({\mathbf{I}}_N+\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{m=1}^M\mathbf{w}({\mathbf{r}}_m)\mathbf{w}({\mathbf{r}}_m{)}^H\right),\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}\triangleq$$

这一步非常聪明，将信道容量分解为和每个 $\mathbf{w}({\mathbf{r}}_m)$ 之间的关系。

其中(a)标记的等式成立，因为对于 $\mathbf{A}\in {\mathbb{C}}^{p\times q}$ 和 $\mathbf{B}\in {\mathbb{C}}^{q\times p}$，$\det ({\mathbf{I}}_p+\mathbf{AB})=\det ({\mathbf{I}}_q+\mathbf{BA})$。请注意，(9)所示(P1)的等效目标函数以显式形式解耦了所有M MAs的位置变量，即 { r m } m = 1 M \{\boldsymbol{r}_{m}\}_{m=1}^{M} {rm​}m=1M​，这便于后续对 ${\mathbf{r}}_m$ 进行优化。

从 $\mathbf{W}(\tilde{\mathbf{r}}{)}^H$ 中去除 $\mathbf{w}({\mathbf{r}}_m)$，并用 ${\mathbf{W}}_m^H$ 表示剩余的 $N\times (M-1)$ 子矩阵 ${\mathbf{W}}_m^H=[\mathbf{w}({\mathbf{r}}_1),\mathbf{w}({\mathbf{r}}_2),\dots ,\mathbf{w}({\mathbf{r}}_{m-1}),\mathbf{w}({\mathbf{r}}_{m+1}),\dots ,\mathbf{w}({\mathbf{r}}_M)]$。这样，(P1)在(9)中的目标函数可以重写为[11]

$$\begin{array}{rl}& \bar{f}({\mathbf{r}}_m)={\log }_2\det \left({\mathbf{I}}_N+\frac{1}{{\sigma }^2}\left(W_m^H{\mathbf{W}}_m+\mathbf{w}({\mathbf{r}}_m)\mathbf{w}({\mathbf{r}}_m{)}^H\right)\right)\\ & \stackrel{({\mathrm{b}}_1)}{=}{\log }_2\det \left({\mathbf{I}}_N+\frac{1}{{\sigma }^2}{\left({\mathbf{I}}_N+\frac{1}{{\sigma }^2}{\mathbf{W}}_m^H{\mathbf{W}}_m\right)}^{-1}\mathbf{w}({\mathbf{r}}_m)\mathbf{w}({\mathbf{r}}_m{)}^H\right)\\ & +{\log }_2\det \left(I_N+\frac{1}{{\sigma }^2}{\mathbf{W}}_m^H{\mathbf{W}}_m\right)\\ & \stackrel{(b_2)}{=}{\log }_2\left(1+\frac{1}{{\sigma }^2}\mathbf{w}({\mathbf{r}}_m{)}^H{\left(I_N+\frac{1}{{\sigma }^2}{\mathbf{W}}_m^H{\mathbf{W}}_m\right)}^{-1}\mathbf{w}({\mathbf{r}}_m)\right)\\ & +{\log }_2\det \left({\mathbf{I}}_N+\frac{1}{{\sigma }^2}{\mathbf{W}}_m^H{\mathbf{W}}_m\right),\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$

这一步也是非常的巧妙，将不相关的 ${\mathbf{W}}_m^H$ 全都提取了出来。

因此，优化 ${\mathbf{r}}_m$ 的子问题可以表示为 $$\begin{array}{rl}(\mathrm{P}2-\mathrm{m})\underset{{\mathbf{r}}_m}{\max }& \mathbf{f}({\mathbf{r}}_m{)}^H{\mathbf{B}}_m\mathbf{f}({\mathbf{r}}_m)\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.& {\mathbf{r}}_m\in \mathcal{C},\\ & \Vert {\mathbf{r}}_m-{\mathbf{r}}_k{\Vert }_2\ge D,k=1,2,\dots ,M,k\ne m.\end{array}\text{\hspace{1em}(12a)(12b)(12c)}$$

B. Solution for Problem (P2-m)

回想一下，任何凸函数在任意点上的一阶泰勒展开都是全局下界。在SCA的第 $i$ 次迭代中，给定局部点边缘，我们得到 $\mathbf{f}({\mathbf{r}}_m{)}^H{\mathbf{B}}_m\mathbf{f}({\mathbf{r}}_m)$ 的下界为[12]

g ( r m ) = f ( r m ) H B m f ( r m ) ≥ f ( r m i ) H B m f ( r m i ) + 2 Re { f ( r m i ) H B m ( f ( r m ) − f ( r m i ) ) } = 2 Re { f ( r m i ) H B m f ( r m ) } ⏟ g ˉ ( r m ) − f ( r m i ) H B m f ( r m ) ⏟ constant , \begin{align*}g(\boldsymbol{r}_{m}) & =\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r}_{m})^{H}\boldsymbol{B}_{m}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r}_{m})\tag{13}\\ & \geq \boldsymbol{f}(\boldsymbol{r}_{m}^{i})^{H}\boldsymbol{B}_{m}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r}_{m}^{i})+\\ &\quad 2\text{Re}\{\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r}_{m}^{i})^{H}\boldsymbol{B}_{m}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r}_{m})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r}_{m}^{i}))\}\\ & =2\underbrace{\text{Re}\{\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r}_{m}^{i})^{H}\boldsymbol{B}_{m}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r}_{m})\}}_{\bar{g}(\boldsymbol{r}_{m})}-\underbrace{\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r}_{m}^{i})^{H}\boldsymbol{B}_{m}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{r}_{m})}_{\text{constant}},\end{align*} g(rm​)​=f(rm​)HBm​f(rm​)≥f(rmi​)HBm​f(rmi​)+2Re{f(rmi​)HBm​(f(rm​)−f(rmi​))}=2gˉ​(rm​) Re{f(rmi​)HBm​f(rm​)}​​−constant f(rmi​)HBm​f(rm​)​​,​(13)​

虽然 $\bar{g}({\mathbf{r}}_m)$ 是 $\mathbf{f}({\mathbf{r}}_m)$ 上的线性函数，但在 ${\mathbf{r}}_m$ 上仍然不是凹的，也不是凸的。因此，我们不能仅仅通过 $\bar{g}({\mathbf{r}}_m)$ 的一阶泰勒展开来构造目标函数的下限代理函数。 Alternatively，我们用二阶泰勒展开构造一个局部逼近目标函数的代理函数。利用附录a给出的推导式，分别表示用 $\nabla \bar{g}({\mathbf{r}}_m)\in {\mathbb{R}}^2$ 和${\nabla }^2\bar{g}({\mathbf{r}}_m)\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ 表示的梯度向量和Hessian矩阵，然后构造一个正实数 ${\delta }_m$，用附录b给出的封闭表达式使得 ${\delta }_m{\mathbf{I}}_2⪰{\nabla }^2\bar{g}({\mathbf{r}}_m)$，从而根据泰勒定理，我们可以找到一个二次代函数，使目标函数 $\bar{g}({\mathbf{r}}_m)$ 全局下界为

$$\begin{array}{rl}\bar{g}({\mathbf{r}}_m)& \ge \bar{g}({\mathbf{r}}_m^i)+\nabla \bar{g}({\mathbf{r}}_m^i{)}^T({\mathbf{r}}_m-{\mathbf{r}}_m^i)-\\ & \frac{{\delta }_m}{2}({\mathbf{r}}_m-{\mathbf{r}}_m^i{)}^T({\mathbf{r}}_m-{\mathbf{r}}_m^i)\\ & =\underset{\tilde{g}({\mathbf{r}}_m)}{\underbrace{-\frac{{\delta }_m}{2}{\mathbf{r}}_m^T{\mathbf{r}}_m+(\nabla \bar{g}({\mathbf{r}}_m^i)+{\delta }_m{\mathbf{r}}_m^i{)}^T{\mathbf{r}}_m}}+\\ & \underset{\text{constant}}{\underbrace{\bar{g}({\mathbf{r}}_m^i)-\frac{{\delta }_m}{2}({\mathbf{r}}_m^i{)}^T{\mathbf{r}}_m^i}}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$

因此，最大化 $\bar{g}({\mathbf{r}}_m)$ 可以转换为最大化 $\tilde{g}({\mathbf{r}}_m)\triangleq \frac{{\delta }_m}{2}{\mathbf{r}}_m^T{\mathbf{r}}_m+(\nabla \bar{g}({\mathbf{r}}_m^i)+{\delta }_m{\mathbf{r}}_m^i{)}^T{\mathbf{r}}_m$。为此，在SCA的第i次迭代中，它们的MA位置 ${\mathbf{r}}_m$ 的优化问题可以放松为

$$\begin{array}{rl}(\mathrm{P}4-\mathrm{m})& \underset{{\mathbf{r}}_m}{\max }-\frac{{\delta }_m}{2}{\mathbf{r}}_m{\mathbf{r}}_m+(\nabla \bar{g}({\mathbf{r}}_m^i)+{\delta }_m{\mathbf{r}}_m^i{)}^T{\mathbf{r}}_m\\ & \mathrm{s}.\mathrm{t}.(12\mathrm{b}),(12\mathrm{c}).\end{array}\text{\hspace{1em}(15)}$$

由于 $\Vert {\mathbf{r}}_m-{\mathbf{r}}_k{\Vert }_2$ 是关于 ${\mathbf{r}}_m$ 的凸函数，在给定的点边缘应用一阶泰勒展开，我们得到以下不等式:

$$\begin{array}{c}\Vert {\mathbf{r}}_m-{\mathbf{r}}_k{\Vert }_2\ge \frac{1}{\Vert {\mathbf{r}}_m^i-{\mathbf{r}}_k{\Vert }_2}({\mathbf{r}}_m^i-{\mathbf{r}}_k{)}^T({\mathbf{r}}_m-{\mathbf{r}}_k).\end{array}\text{\hspace{1em}(17)}$$

如果 ${\mathbf{r}}_{m,i+1}^{\star }$ 不满足(12b)或(12c)，则第m个MA的凸位置优化问题转化为$$\begin{array}{rl}(P5-m)\underset{{\mathbf{r}}_m}{\max }& -\frac{{\delta }_m}{2}{\mathbf{r}}_m^T{\mathbf{r}}_m+(\nabla \bar{g}({\mathbf{r}}_m^i)+{\delta }_m{\mathbf{r}}_m^i{)}^T{\mathbf{r}}_m\\ & \mathrm{s}.\mathrm{t}.\frac{1}{\Vert {\mathbf{r}}_m^i-{\mathbf{r}}_k{\Vert }_2}({\mathbf{r}}_m^i-{\mathbf{r}}_k{)}^T({\mathbf{r}}_m-{\mathbf{r}}_k)\ge D,\\ & k=1,2,\dots ,M,k\ne m,\\ & (12\mathrm{b}).\end{array}\text{\hspace{1em}(18a)(18b)}$$

APPENDIX

关于A，就是单纯的代入公式，没有什么可以细讲的。B当中有一个小疑点，就是为何 ${\Vert {\nabla }^2\bar{g}\left({\mathbf{r}}_m\right)\Vert }_2{\mathbf{I}}_2⪰{\nabla }^2\bar{g}\left({\mathbf{r}}_m\right)$。我来稍微解释一下，$\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{{\lambda }_{\max }\left(A^{\ast }A\right)}={\sigma }_{\max }(A)$，表示 A 最大的那个特征值，但是 ∥ A ∥ F = ∑ i m ∑ j n ∣ a i j ∣ 2 = trace ⁡ ( A ∗ A ) = ∑ i = 1 min ⁡ { m , n } σ i 2 ( A ) \|A\|_{\mathrm{F}}=\sqrt{\sum_{i}^{m} \sum_{j}^{n}\left|a_{i j}\right|^{2}}=\sqrt{\operatorname{trace}\left(A^{*} A\right)}=\sqrt{\sum_{i=1}^{\min \{m, n\}} \sigma_{i}^{2}(A)} ∥A∥F​=i∑m​j∑n​∣aij​∣2 ​=trace(A∗A) ​=i=1∑min{m,n}​σi2​(A) ​因此很容易可以得到 ${\Vert {\nabla }^2\bar{g}\left({\mathbf{r}}_m\right)\Vert }_2^2\le {\Vert {\nabla }^2\bar{g}\left({\mathbf{r}}_m\right)\Vert }_F^2$。很显然 ${\Vert {\nabla }^2\bar{g}\left({\mathbf{r}}_m\right)\Vert }_2{\mathbf{I}}_2-{\nabla }^2\bar{g}\left({\mathbf{r}}_m\right)$ 是对称矩阵，因为 A symmetric matrix is psd（positive semi-definite） if and only if all eigenvalues are non-negative，详细的证明可以参见网站1，网站2，网站3。下面的截图，给出了证明的主要思路。