单源最短路总结

建图方式

• 普通无向图+邻接表建图

板子题

1129. 热浪 - AcWing题库

找最短路里的最长路

1128. 信使 - AcWing题库

经典问题，在无向图中找一点使得其他点到该点距离最小

跑n遍最短路即可

1127. 香甜的黄油 - AcWing题库

考察对dijkstra贪心本质的理解，修改了最短路更新的形式

也可以不想这些，用数学构造出一个新的最短路

1126. 最小花费 - AcWing题库

集合之间的最短路问题，有n个连通块，求到终点最少经过几个连通块。

处理方式很简单，只要让每一条边的边权都为1，跑一遍最短路即可，原理也很简单可以自行推导

920. 最优乘车 - AcWing题库

• 新建源点建图

有一些题看不出来是最短路，是因为他没有直接问你从起点到终点的最短路。

例如超市购物问题/以物易物问题

903. 昂贵的聘礼 - AcWing题库

这时候就可以通过建立一个新的源点0，然后用0作为起点建图

• 正反建图+spfa

刷到一道题，需要我们找到1~N这条路径里的两个有序的点，一个在前一个在后。

然后让后减前得到最大值。

由于这两个点是在1~N这条路径上，所以最好用spfa

另外，我们让前面最小，让后面最大怎么办？

首先我们就要界定一个中间点i，

然后求出 1~i 的小权值，和i~n的最大权值即可

前者我们以1为起点跑一遍spfa即可

后者我们不可能以i为点跑spfa，这样复杂度过高。

所以需要以n为起点，这样只要一遍就可以得到答案

但是由于可能会有单向边

所以最好反过来建图

341. 最优贸易 - AcWing题库

单源最短路综合运用

dijkstra+dfs

很板，没什么特点。

1135. 新年好 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define int long long
#define INF 1e10
#define PII pair<int,int>struct ggg{int v;int w;
};ll ans=0;vector<int> dijkstra(vector<ggg>*gg,int n,int start){vector<int> dist(n+1,INF);vector<bool> flag(n+1);priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> q;dist[start]=0;q.push({dist[start],start});while(q.size()){int u=q.top().second;q.pop();if(flag[u])continue;for(auto i:gg[u]){int v=i.v;int w=i.w;if(dist[v]>dist[u]+w){dist[v]=dist[u]+w;q.push({dist[v],v});}}}return dist;}
signed main(){int n,m;cin>>n>>m;vector<int> t(5);for(int i=0;i<5;i++)cin>>t[i];vector<ggg> gg[n+1];while(m--){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;gg[u].push_back(ggg{v,w});gg[v].push_back(ggg{u,w});}vector<int> a(5);vector<int> dist[n+1];dist[1]=dijkstra(gg,n,1);for(int i=0;i<5;i++){a[i]=i;dist[t[i]]=dijkstra(gg,n,t[i]);}int ans=0;int bns=1e10;ans=0;ans+=dist[1][t[0]];for(int i=0;i<4;i++){ans+=dist[t[i]][t[i+1]];}bns=min(bns,ans);while(next_permutation(a.begin(),a.end())){ans=0;ans+=dist[1][t[a[0]]];for(int i=0;i<4;i++){ans+=dist[t[a[i]]][t[a[i+1]]];}bns=min(bns,ans);}cout<<bns<<endl;
}

dijkstra+二分答案

二分可行性

340. 通信线路 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define INF 1e9
#define PII pair<ll,ll>
//#define int long long
struct ggg{int v;int w;
};int spfa(vector<ggg>*gg,int n,int k,int K){vector<ll> dist(n+1,INF);vector<bool> flag(n+1);priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > q;dist[1]=0;q.push({0,1});while(q.size()){int u=q.top().second;q.pop();if(flag[u])continue;flag[u]=1;for(auto i:gg[u]){int v=i.v;int w=i.w;if(dist[v]>dist[u]+(w>=k?1:0)){dist[v]=dist[u]+(w>=k?1:0);q.push({dist[v],v});}}}return dist[n]<=K;
}signed main(){int n,p,k;cin>>n>>p>>k;vector<ggg> gg[n+1];while(p--){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;gg[u].push_back({v,w});gg[v].push_back({u,w});}int l=0; int r=1e9,mid;while(l<r){mid=l+r+1>>1;if(spfa(gg,n,mid,k)){r=mid-1;}else l=mid;}if(r!=1e9)cout<<r<<endl;else cout<<-1<<endl;}

未完待续…