证明下述不等式之一

设 $a,b,c$ 是正实数，请证明下述不等式：
$$1<\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a^2}}\le \frac{3}{\sqrt{2}}$$ 上述不等式及其证明思路参考 [1]，本文将给出更多的证明细节，并且对右边的不等式选取柯西·施瓦兹不等式的证明方法。

证明

先证左边的简单不等式。
$$\begin{array}{rl}& \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a^2}}\\ & >\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ & =\frac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ & >1\end{array}$$ 下面证明右边的不等式。先给出一个基本不等式，其结论成立是不言而喻的：
$$\begin{array}{r}\sum _{\text{cyc}}{c}^2(a^2-b^2{)}^2\ge 0\end{array}$$ 其中 ${\sum }_{\text{cyc}}$ 表示循环求和，比如 ${\sum }_{\text{cyc}}{a}^2=a^2+b^2+c^2$. 对（5）式进行改写得：
$$\begin{array}{r}{a}^4{c}^2+b^4{c}^2+b^2{c}^4+a^4{b}^2+a^2{b}^4+a^2{c}^4\ge 6a^2{b}^2{c}^2\end{array}$$ 上式也可以简记为
$$\begin{array}{r}\sum _{\text{cyc}}{c}^2(a^4+b^4)\ge 6a^2{b}^2{c}^2\end{array}$$ 有了（7）式，我们可以推出下面的不等式：
$$\begin{array}{r}8\sum _{\text{cyc}}{a}^2\sum _{\text{cyc}}{a}^2{b}^2\le 9\prod _{\text{cyc}}(a^2+b^2)\end{array}$$ 过程如下：

借助不等式（8），现在我们来证明原不等式的右边，因为：
$$\begin{array}{r}\prod _{\text{cyc}}(a^2+b^2)=2a^2{b}^2{c}^2+\sum _{\text{cyc}}{c}^2(a^4+b^4)\end{array}$$ 所以结合（7）式：
$$\begin{array}{rl}& 9\prod _{\text{cyc}}(a^2+b^2)\\ & \ge 18a^2{b}^2{c}^2+9\sum _{\text{cyc}}{c}^2(a^4+b^4)\\ & =18a^2{b}^2{c}^2+\sum _{\text{cyc}}{c}^2(a^4+b^4)+8\sum _{\text{cyc}}{c}^2(a^4+b^4)\\ & \ge 24a^2{b}^2{c}^2+8\sum _{\text{cyc}}{c}^2(a^4+b^4)\\ & =8\sum _{\text{cyc}}{a}^2\sum _{\text{cyc}}{a}^2{b}^2\end{array}$$ 由柯西·施瓦兹不等式我们有：
$$\begin{array}{rl}& {\left(\sum _{\text{cyc}}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}^2\\ & ={\left(\sum _{\text{cyc}}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+c^2}}\sqrt{a^2+c^2}\right)}^2\\ & \le \sum _{\text{cyc}}\frac{a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\sum _{\text{cyc}}(a^2+c^2)\end{array}$$ 接下来估计不等式 ${\sum }_{\text{cyc}}\frac{a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}{\sum }_{\text{cyc}}(a^2+c^2)$ 的上界。我们作下述变形，并结合（8）式得：
$$\begin{array}{rl}& \sum _{\text{cyc}}\frac{a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\sum _{\text{cyc}}(a^2+c^2)\\ & =2\sum _{\text{cyc}}\frac{a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\sum _{\text{cyc}}{a}^2\\ & =2\sum _{\text{cyc}}\frac{a^2(b^2+c^2)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}\sum _{\text{cyc}}{a}^2\\ & =\frac{2{\sum }_{\text{cyc}}{a}^2(b^2+c^2){\sum }_{\text{cyc}}{a}^2}{{\prod }_{\text{cyc}}(a^2+b^2)}\\ & =\frac{4{\sum }_{\text{cyc}}{a}^2{b}^2{\sum }_{\text{cyc}}{a}^2}{{\prod }_{\text{cyc}}(a^2+b^2)}\\ & \le \frac{9}{2}\frac{{\prod }_{\text{cyc}}(a^2+b^2)}{{\prod }_{\text{cyc}}(a^2+b^2)}=\frac{9}{2}\end{array}$$ 证必 $\square$

[1] Symmetric inequality with three variables including radicals