【算法训练营】等式,道路升级(c++,python实现)

等式


问题描述

有n个变量和m个“相等”或“不相等”的约束条件,请你判定是否存在一种赋值方案满足所有m个约束条件。

输入格式

第一行一个整数T,表示数据组数。

接下来会有T组数据,对于每组数据:

第一行是两个整数n,m,表示变量个数和约束条件的个数。

接下来m行,每行三个整数a,b,e,表示第a个变量和第b个变量的关系:

  • 若e=0则表示第a个变量不等于第b个变量;
  • 若e=1则表示第a个变量等于第b个变量

输出格式

输出T行,第i行表示第i组数据的答案。若第i组数据存在一种方案则输出"Yes";否则输出"No"(不包括引号)。

样例1输入

2
5 5
1 2 1
2 3 1
3 4 1
1 4 1
2 5 0
3 3
1 2 1
2 3 1
1 3 0

样例1输出

Yes
No

样例1解释

一共有2组数据。

对于第一组数据,有5个约束:

  • 变量1=变量2
  • 变量2=变量3
  • 变量3=变量4
  • 变量1=变量4
  • 变量2≠变量5

显然我们可以令:

  • 变量1=变量2=变量3=变量4=任意一个数值
  • 变量5=任意一个和变量2不同的数值

故第一组数据输出"Yes"。 对于第二组数据,有3个约束:

  • 变量1=变量2
  • 变量2=变量3
  • 变量1≠变量3

由前两个约束可推出变量1=变量3,但第三个约束表明变量1≠变量3,矛盾。

故第二组数据输出"No"。

数据范围

对于10%的数据,n,m ≤ 5,T ≤ 5;

对于50%的数据,n,m ≤ 1000,T ≤ 10;

对于100%的数据,1 ≤ n ≤ 300000, m ≤ 500000,1 ≤ a,b ≤ n,T ≤ 100。

保证所有数据的n总和与m总和不超过500000。

时间限制:1 s

空间限制:512 MB

提示

[用并查集来维护相等的集合。]

代码实现

//#include <bits/stdc++.h>
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;// 并查集
// ================= 代码实现开始 =================const int N = 300005;//Father:每个节点的父亲节点
//Rank:节点的秩
int Father[N],Rank[N];//查找节点x所在集合的根
//x:节点x
//返回值:根
int find(int x){return Father[x]==x ? x : Father[x]=find(Father[x]);
}// 给定n个变量以及m个约束,判定是否能找出一种赋值方案满足这m个约束条件
// n:如题意
// m:如题意
// A:大小为m的数组,表示m条约束中的a
// B:大小为m的数组,表示m条约束中的b
// E:大小为m的数组,表示m条约束中的e
// 返回值:若能找出一种方案,返回"Yes";否则返回"No"(不包括引号)。
string getAnswer(int n, int m, vector<int> A, vector<int> B, vector<int> E) {//初始化for(int i = 1; i <= n; ++i){Father[i] = i;Rank[i] = 0;}//需要提前操作e=1的数据,将e=1的数据交换至前面int cnt=0;for(int i = 0; i < m; ++i)if(E[i] == 1){swap(A[i],A[cnt]);swap(B[i],B[cnt]);swap(E[i],E[cnt]);cnt++;}for(int i = 0; i < m; ++i){int setA = find(A[i]); //找到A[i]所在集合的根int setB = find(B[i]); //找到B[i]所在集合的根if(E[i] == 0){if(setA == setB){return "No";}}else{if(setA != setB){  //需要合并的情况//在union时,把rank更高的父节点作为根节点,规定rankB更高一些。if(Rank[setA]>Rank[setB])swap(setA,setB); // 交换A,B集合Father[setA] = setB;if(Rank[setA] == Rank[setB])Rank[setB]+=1;}}}return "Yes";
}// ================= 代码实现结束 =================int main() {int T;for (scanf("%d", &T); T--; ) {int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);vector<int> A, B, E;for (int i = 0; i < m; ++i) {int a, b, e;scanf("%d%d%d", &a, &b, &e);A.push_back(a);B.push_back(b);E.push_back(e);}printf("%s\n", getAnswer(n, m, A, B, E).c_str());}return 0;
}

道路升级


问题描述

Z国有 n 个城市和 m 条双向道路,每条道路连接了两个不同的城市,保证所有城市之间都可以通过这些道路互达。每条道路都有一个载重量限制,这限制了通过这条道路的货车最大的载重量。道路的编号从 1 至 m 。巧合的是,所有道路的载重量限制恰好都与其编号相同

现在,要挑选出若干条道路,将它们升级成高速公路,并满足如下要求:

  • 所有城市之间都可以通过高速公路互达。
  • 对于任意两个城市 u,v 和足够聪明的货车司机:只经过高速公路从 u 到达 v 能够装载货物的最大重量,与经过任意道路从 u 到达 v 能够装载货物的最大重量相等。(足够聪明的司机只关注载重量,并不在意绕路)

在上面的前提下,要求选出的道路数目尽可能少。

求需要挑选出哪些道路升级成高速公路(如果有多种方案请任意输出一种)。

输入

第一行 2 个用空格隔开的整数 n,m ,分别表示城市数目、道路数目。

第 2 行到第 m+1 行,每行 2 个用空格隔开的整数 u,v 描述一条从 u 到 v 的双向道路,第 i+1 行的道路的编号为 i 。

注意:数据只保证不存在连接的城市相同的道路(自环),并不保证不存在两条完全相同的边(重边)

输出

第一行一个整数 k ,表示升级成高速公路的道路数。

接下来 k 行每行一个整数,从小到大输出所有选出的道路的编号。

输入样例

3 3
1 2
2 3
1 3

输出样例

2
2
3

数据范围

对于 20% 的数据,保证 n≤5,m≤10。

对于 60% 的数据,保证 n≤1,000,m≤5,000。

对于 100% 的数据,保证 n≤200,000,m≤400,000。

时间限制:10 sec

空间限制:256 MB

提示

[提示1:真的可能有多种方案吗?]

[提示2:k 是否一定为 n-1 呢?(也就是说,选出的道路是否恰好构成了一棵树?)]

[提示3:这道题和最小生成树有什么关系呢?]

代码实现

class UnionSet:def __init__(self, n):self.f = [i for i in range(n + 1)]def find(self, x):if self.f[x] == x:return xself.f[x] = self.find(self.f[x])return self.f[x]def merge(self, x, y):set_x = self.find(x)set_y = self.find(y)if set_x != set_y:self.f[set_x] = set_yreturn Truereturn Falsedef get_answer(n, m, U, V):ans = []us = UnionSet(n)for i in range(m - 1, -1, -1):if us.merge(U[i], V[i]):ans.append(i + 1)ans.reverse()return ansif __name__ == "__main__":n, m = map(int, input().split())U, V = [], []for _ in range(m):u, v = map(int, input().split())U.append(u)V.append(v)ans = get_answer(n, m, U, V)print(len(ans))for edge in ans:print(edge)

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