一、题目

在这里插入图片描述

二、一般遍历解法

思路分析：利用层序遍历，然后用num++记录节点数量。其他的例如递归法和迭代法也是如此。
层序遍历程序如下：

class Solution {
public:int countNodes(TreeNode* root) {if (!root) return 0;queue<TreeNode*> que;que.push(root);int num = 0;        // 节点数量while (!que.empty()) {int size = que.size();  // size必须固定, que.size()是不断变化的for (int i = 0; i < size; ++i) {               TreeNode* node = que.front();que.pop();num++;if (node->left) que.push(node->left);   // 空节点不入队if (node->right) que.push(node->right);}}return num;}
};

复杂度分析：

时间复杂度： $O (n)$ 。
空间复杂度： $O (n)$ 。
递归程序如下（这应该是最精简的版本了）：

class Solution2 {
public:int countNodes(TreeNode* root) {return root == NULL ? 0 : countNodes(root->left) + countNodes(root->right) + 1;}
};

三、利用完全二叉树性质

思路分析：完全二叉树具有一个特性，假设它的深度为K，它的节点个数在 $2^{K-1}-1, 2^K-1]$ 之间，意味着它只有两种情况，一种是满二叉树，一种是最后一层叶子节点没有满。对于情况一可以用 $2^K-1$ 来计算，对于情况二分别递归其左子树和右子树，递归到一定深度一定有左子树或者右子树为满二叉树，然后按照情况一来计算。那么满二叉树的最左边节点和最右边节点的深度一定是相等的，依据这个特性判断子树是否为满二叉树。
在这里插入图片描述
递归程序当中，我们要确定三个步骤，1、输入参数，返回值 2、递归终止条件 3、单层递归逻辑。输入参数为中间节点，返回值为左子树的节点数量+右子树节点数量+1（+1是加上中间节点）。当节点为空时，递归终止，返回0。每次递归我们都要计算最左/右边节点深度，然后判断二者是否相等，如果相等则是满二叉树，返回 $2^K-1$ ，K为深度。程序当中使用了左移运算符，因为运算符的优先级问题，记得加括号。左移运算符是二进制运算，计算机计算的更快。
程序如下：

class Solution3 {
public:// 利用完全二叉树的性质，递归法int countNodes(TreeNode* root) {if (!root) return 0;TreeNode* left = root->left;TreeNode* right = root->right;int Ldepth = 0, Rdepth = 0;while (left) {      // 递归左子树left = left->left;Ldepth++;}while (right) {     // 递归右子树right = right->right;Rdepth++;}if (Ldepth == Rdepth) {return (2 << Ldepth) - 1;    // <<为左移运算符（位运算符），相当于2*leftDepth，但二进制运算计算机算的更快}return countNodes(root->left) + countNodes(root->right) + 1;}
};

复杂度分析：

时间复杂度： $O (n)$ 。
空间复杂度： $O (n)$ 。

四、完整代码

# include <iostream>
# include <vector>
# include <queue>
# include <string>
# include <algorithm>
using namespace std;// 树节点定义
struct TreeNode {int val;TreeNode* left;TreeNode* right;TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}TreeNode(int x, TreeNode* left, TreeNode* right) : val(x), left(left), right(right) {}
};class Solution {
public:// 层序遍历法int countNodes(TreeNode* root) {if (!root) return 0;queue<TreeNode*> que;que.push(root);int num = 0;        // 节点数量while (!que.empty()) {int size = que.size();  // size必须固定, que.size()是不断变化的for (int i = 0; i < size; ++i) {               TreeNode* node = que.front();que.pop();num++;if (node->left) que.push(node->left);   // 空节点不入队if (node->right) que.push(node->right);}}return num;}
};class Solution2 {
public:int countNodes(TreeNode* root) {return root == NULL ? 0 : countNodes(root->left) + countNodes(root->right) + 1;}
};class Solution3 {
public:// 利用完全二叉树的性质，递归法int countNodes(TreeNode* root) {if (!root) return 0;TreeNode* left = root->left;TreeNode* right = root->right;int Ldepth = 0, Rdepth = 0;while (left) {      // 递归左子树left = left->left;Ldepth++;}while (right) {     // 递归右子树right = right->right;Rdepth++;}if (Ldepth == Rdepth) {return (2 << Ldepth) - 1;    // <<为左移运算符（位运算符），相当于2*leftDepth，但二进制运算计算机算的更快}return countNodes(root->left) + countNodes(root->right) + 1;}
};void my_print(vector <string>& v, string msg)
{cout << msg << endl;for (vector<string>::iterator it = v.begin(); it != v.end(); it++) {cout << *it << "  ";}cout << endl;
}void my_print2(vector<vector<int>>& v, string str) {cout << str << endl;for (vector<vector<int>>::iterator vit = v.begin(); vit < v.end(); ++vit) {for (vector<int>::iterator it = (*vit).begin(); it < (*vit).end(); ++it) {cout << *it << ' ';}cout << endl;}
}// 前序遍历迭代法创建二叉树，每次迭代将容器首元素弹出（弹出代码还可以再优化）
void Tree_Generator(vector<string>& t, TreeNode*& node) {if (t[0] == "NULL" || !t.size()) return;    // 退出条件else {node = new TreeNode(stoi(t[0].c_str()));    // 中t.assign(t.begin() + 1, t.end());Tree_Generator(t, node->left);              // 左t.assign(t.begin() + 1, t.end());Tree_Generator(t, node->right);             // 右}
}// 层序遍历
vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) {queue<TreeNode*> que;if (root != NULL) que.push(root);vector<vector<int>> result;while (!que.empty()) {int size = que.size();  // size必须固定, que.size()是不断变化的vector<int> vec;for (int i = 0; i < size; ++i) {TreeNode* node = que.front();que.pop();vec.push_back(node->val);if (node->left) que.push(node->left);   // 空节点不入队if (node->right) que.push(node->right);}result.push_back(vec);}return result;
}int main()
{vector<string> t = { "1", "2", "4", "NULL", "NULL", "5", "NULL", "NULL", "3", "6", "NULL", "NULL", "NULL"};   // 前序遍历my_print(t, "目标树");TreeNode* root = new TreeNode();Tree_Generator(t, root);vector<vector<int>> tree = levelOrder(root);my_print2(tree, "目标树:");Solution2 s1;int result = s1.countNodes(root);cout << "节点数量为：" << result << endl;system("pause");return 0;
}