数据结构——5.5 树与二叉树的应用

5.5 树与二叉树的应用

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  • 概念
  1. 结点的权:大小可以表示结点的重要性

  2. 结点的带权路径长度:从树的根到该结,的路径长度(经过的边数)与该结点权的乘积

  3. 树的带权路径长度:树中所有叶结点的带权路径长度之和(WPL)

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  4. 哈夫曼树(最优二叉树):在含有n个带权叶结点的二叉树中,其中带权路径长度(WPL) 最小的二叉树

  5. 编码方式

    1. 每个字符对应二进制长度分:

      1. 固定长度编码,每个字符对应相同长度的二进制编码

      2. 可变长度编码,允许不同字符用不同长度的二进制编码

    2. 按是否有歧义分:

      1. (解码无歧义)前缀编码:没有一个编码是另一个编码的前缀

      2. (解码有歧义)非前缀码

    3. 哈夫曼编码:利用构造哈夫曼树的方法得到哈夫曼编码,左边0,右边1

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  6. 并查集

    1. 如何查到一个元素到底属于哪一个集合?

      ·指定元案出发,一路向北,找到根节点

    2. 如何断两个元素否属于同一个集合?

      ·分别查到两个元素的根,判断根节点是否相同即可

    3. 如何把两个集合并为一个集合?

      ·让一棵树成为另一棵树的子树即可

    4. 采用双亲表示法存储并查集树的好处

      1. 容易向上溯源(易于查)

      2. 另一棵树的根指向目标树的根即可实现并(易于并)

  • 理解
  1. 哈夫曼树的构造

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  2. 并查集的实现

    1. 定义:有n个元素则定义大小为n的数组,根的值为-1,其他结点值为根节点的下标

    2. 查操作:往上溯源找到只为-1的根节点的下标(最坏复杂度O[n])

    3. 并操作:两个集合合并成一个,把其中一个集合的根的值改成另一个根节点的下标即可(复杂度O[1])

    4. 并操作的优化:尽可能降低并查集的高度

      1. 修改复杂度为O[1]的并操作,该方法使得构造的树高不超过log₂n(向下取整)+1,从而查操作的复杂度降到O[log₂n]

      2. 每次合并的时候让小树合并到大树的根下

      3. 根的值仍然取负值,但是绝对值是该树的所有节点数目,从而可以体现树的大小

    5. 查操作的优化:压缩路径(复杂度O[α(n)])

      1. 路径上经过的结点都直接挂到根节点下面

        1. while循环向上溯源,目的是找到根(与优化前一样)

        2. 再次while循环,目的是把路上的结点都直接转接到根节点下面(优化内容)(如果每个叶结点都经过这个操作,那么原来的树的高度就变成了2,一个根,其他全是叶子)

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  • 技巧
  1. 在有n个叶子结点的哈夫曼二叉树中,非叶子结点一共有n-1个,总共有2n-1个结点,叶结点个数即为可编码的个数

  2. 哈夫曼编码不超过4,已经编码两个:1、01,则最多还可以编码4个:0000、0001、0010、0011

  3. 哈夫曼二叉树的度只有0和2两种情况

  4. n个有序的序列和m个有序的序列合并,最坏情况要比较m+n-1次大小

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