黄金分割比的无理性

“黄金分割比的神奇之处：视觉化证明与数学的魅力”

人们在学习高等数学时，走到一个证明的结尾处，通常会经历这样的思考：“我理解每一行是怎样由前一行得到的，但是我却不明白为什么这个定理是正确的，人们是怎样想到这个论证的。”我们经常想从证明中得到更多的东西，而不仅仅是确信它的正确性。读过一个好的证明之后，我们会感到它对定理进行了一番阐明，使我们理解了之前所不理解的一些东西。
由于人类大脑有很大一部分是用于处理视觉数据的，我们也就不难理解有很多论证都用到了我们的视觉能力。为了说明这一点，我将给出另一个关于无理性的证明，这一回是所谓的黄金分割比。几百年来，这个数一直使非数学家为之着迷（数学家也着迷，只是程度较轻）。它是具有如下特征的矩形的长宽比：从矩形中切掉一个正方形，剩下一个小矩形，它旋转之后恰与原始矩形的形状完全一样。下图中的第二个矩形正是这种情况。

“黄金分割比的存在与几何操作的奇妙关联”

为什么这样的边长比是存在的？（数学家已经被训练得惯于提出这类问题。）要回答它可以换一个角度，想象一个小矩形从正方形的一侧生长出来，使整个图形变成一个大矩形。刚开始的时候，小矩形很长很瘦，而大矩形仍然差不多是个正方形。如果我们让小矩形继续生长，直到它自己变成一个正方形，那大短形的长就是宽的两倍。所以，小矩形最开始的时候比大矩形瘦得多，现在却比大矩形胖（相对于各自的尺寸来讲）。在这两者之间必存在一点，使得两个矩形形状相同。上图说明了这样的过程。
还可以用另一种方式来考虑黄金分割比的存在，那就是把它算出来。如果我们把它叫作x，并假设正方形的边长为1，那么大矩形的边长就是1和x，小矩形的边长是x-1和1。如果它们的形状相同，那么$x=\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}$。两端同时乘以x-1，我们就得到$x(x-1)=1$，所以$x^2-x-1=0$。求解这个二次方程，并且知道x不是负数，我们就得出$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。（如果你在数学上很有造诣，或者深入理解了上一个系列，你可能会问为什么我如此确信，$\sqrt{5}$存在。实际上，这第二种论证正是要把几何问题归结于一个等价的代数问题。）
得出了比例x存在之后，让我们来考虑对边长为x和1的矩形进行如下的操作。首先，从中切掉一个正方形，由黄金分割比的定义，剩下的小矩形与原来的矩形形状相同。然后再不断地重复这一基本操作，得到一系列越来越小的矩形，每一个的形状都与之前的形状相同，因而长宽比都是黄金分割比。很显然，这一过程永远不会终止。（参见下图的第一个矩形。)

“黄金分割比的无理性：通过几何操作的比较证明”

现在让我们对长宽比为p/q的矩形施行同样的操作，其中p和q都是整数。也就是说，这个矩形与边长为p和q的矩形形状相同，因而可以被分成pq个小正方形，如上图中的第二个矩形所示。如果我们从这个矩形的一端切掉一些大正方形会怎么样呢？如果q小于p，那么我们切掉一个qq的正方形，得到一个q*(p-q)的矩形。我们可以继续切掉下一个正方形，依此类推。这个过程会永远持续下去吗？不会。每次切掉的正方形都是小方格的整数倍，我们不可能操作多于pq的次数——因为一开始就只有pq个小方格。
我们表明了如下两个事实。

1. 如果矩形的边长比是黄金分割比，那么我们可以一直从中切掉正方形，没有尽头。
2. 如果矩形的边长比是某对整数p和q的比值p/q，那么就不能永不停止地从中切掉正方形。

于是我们可以得到，比值p/q不是黄金分割比，无论p和q取什么值。换言之，黄金分割比是无理数。

仔细思考上面这个证明，你最终会发觉，虽然乍看它和之前对$\sqrt{2}$是无理数的证明很不一样，但实际上也并无太大区别。不过，我们将它呈现出来的方式确实不同——而且对很多人来说，这种方式更有吸引力。

总结

黄金分割比是一种具有神奇性质的数值，它在几何形状和数学运算中展现了其存在与无理性。通过视觉化证明和几何操作的比较，我们可以理解黄金分割比的存在。从切割矩形的过程中，我们可以观察到黄金分割比的形成和不断重复，而对于其他边长比例，这个过程会终止。这些证明揭示了黄金分割比的特殊性质，并展示了数学的魅力和深奥之处。黄金分割比作为一种无理数，一直吸引着数学家和非数学家的兴趣，展现了数学中丰富的思维和推理过程。