【数据结构】数据结构

本文是基于中国MOOC平台上,华中科技大学的《数据结构》课程和浙江大学的《数据结构》课程所作的一篇课程笔记,便于后期讲行系统性查阅和复习。

从个人感受而言,华中科技大学的课程讲解更适合初学者(缺点在于,从概念到应用之间的衔接生硬不易懂),浙江大学的课程更适合对基础概念有所了解的初学者(缺点在于,对完全不懂的初学者很不友好)。两个课程搭配学习,有奇效。


一、基础概念

1.1 什么是数据结构

1.1.1 解决问题方法的效率,与什么有关?

解决问题方法的效率,跟数据的组织方式有关。

解决问题方法的效率,跟空间的利用效率有关。

解决问题方法的效率,跟算法的巧妙程度有关。

引入案例:如何在书架上摆放书架?

分析案例:图书的摆放要使得两个操作方便实行

                  1.新书怎么插入?

                  2.怎么找到某本指定的书?

算法一:随便放。

              操作1有空就放,一步到位。操作2需要遍历书架,复杂度高。

算法二:按照书名的拼音字母顺序排放。

              操作1每插入一本新书就要把后面的书进行调整,复杂度高。操作2二分查找。

算法三:分而治之法,书架按块放不同类别的书,每一类里按拼音字母顺序排放。

               操作1先定类别,二分查找位置,移出空位。操作2先定类别,再二分查找。

对比之下,算法三更优。

优化:空间如何分配?类别应该分多细?

解决问题方法的效率,跟数据的组织方式有关。

引入案例:写程序实现一个函数PrintN,使得传入一个正整数为N的参数后,能顺序打印从1到N的全部正整数。

算法一:for循环

void PrintN(int N) {for (int i = 1; i < N + 1; i++) {printf("%d\n", i);}return;
}

算法二:递归函数

void PrintN(int N) {if (N) {PrintN(N - 1);printf("%d\n", N);}return;
}

实际上,在测试代码过程中,N的取值有10、100、1000、10000,而在10、100、1000时两种代码均能跑通。在10000时,递归函数出现了错误,原因是内存不足。

解决问题方法的效率,跟空间的利用效率有关。

引入案例:写程序计算给定多项式在给定点x处的值。

算法一:傻瓜法

double f(int n, double a[], double x) {int i;double p = a[0];for (i = 1; i <= n; i++) p += (a[i] * pow(x, i));return p;
}

算法二:秦久韶算法

double f(int n, double a[], double x) {int i;double p = a[n];for (i = n; i >0; i--) p = a[i - 1] + x * p;return p;
}

对比算法:算法二的运行时间更短。

解决问题方法的效率,跟算法的巧妙程度有关。

1.1.2 什么是数据结构?

 数据结构是数据对象在计算机中的组织方式。

(数据对象的逻辑结构,数据对象在计算机中的物理存储结构)

•数据对象必定与一系列加在其上操作相关联

•实现这些操作所用的方法就是算法。

抽象数据类型

•抽象数据类型是对数据的逻辑描述,而数据结构是对数据的物理描述。抽象数据类型定义了数据的操作和语义,而数据结构实现了这些操作和语义。因此,可以说抽象数据类型是数据结构的一种实现方式。

•数据类型:数据对象集+数据集合相关联的操作集

•抽象:描述数据类型的方法不依赖于具体实现。

(与存放数据的机器无关,与数据存储的物理结构无关,与实现操作的算法编程语言无关)

(只描述数据对象集和相关操作集”是什么“,并不涉及”如何做到“的问题)

1.2 什么是算法

1.2.1 算法的定义

•算法

   •一个有限指令集

   •接收一些输入(有些情况不需要输入),产生输出

   •有穷性:一定在有限步骤之后终止

   •确定性:每一条指令必须有充分明确的目标,不可以有歧义

   •可行性:每一条指令必须计算机能处理的范围之内

   •伪代码:算法描述应不依赖于任何一种计算机语言以及具体的实现手段

1.2.2 什么是好的算法

•衡量好算法的指标:空间复杂度S(n),时间复杂度T(n)。

•在分析一般算法的效率时,经常关注下面两种复杂度:

        1.最坏情况复杂度:T_{_{_{worst}}}(n)

        2.平均复杂度:T_{_{avg}}(n)

通常T_{avg}(n)\leq T_{worst}(n),我们更常用T_{_{_{worst}}}(n)

1.2.3 复杂度的渐进表示 

T(n)=O(f(n))最坏情况复杂度

表示存在常数C>0,n0>0,使得n>=n0时有T(n)\leq C*f(n)

T(n)=Ω(g(n))最好情况复杂度

表示存在常数C>0,n0>0,使得n>=n0时有T(n)\geq C*g(n)

T(n)=Θ(h(n))平均复杂度

表示同时有(n)=O(h(n))和T(n)=Ω(h(n))

 复杂度分析小窍门

•若两段算法分别有复杂度T_{1}(n)=O(f_{1}(n))T_{2}(n)=O(f_{2}(n)),则

 算法相接:T_{1}(n)+T_{2}(n)=max(O(f_{1}(n)),O(f_{2}(n)))

 算法嵌套:T_{1}(n)\times T_{2}(n)=O(f_{1}(n)\times f_{2}(n))

•若T(n)是关于n的k阶多项式,那么T(n)=\circleddash (n^{k})

•一个for循环的时间复杂度=循环次数*循环体代码复杂度

if-else语句的时间复杂度=max{if的条件判断复杂度,if分支的复杂度,else分支的复杂度}

1.3 应用实例

1.3.1 最大子列和问题

问题:给定N个整数的序列{A_{1},A_{2},...,A_{N}},求函数f(i,j)=max{0,\sum_{k=i}^{j}A_{k}}的最大值。

算法一:暴力破解(三个嵌套for循环,复杂度N^{3}T(N)=O(N^{^{3}})

int MaxSubseqSum1(int A[], int N) {int ThisSum=0, MaxSum = 0;int i, j, k;for (i = 0; i < N; i++) {for (j = i; j < N; j++) {for (k = i; k <= j; k++) {ThisSum += A[k];}if (ThisSum > MaxSum) {MaxSum = ThisSum;}}}return MaxSum;
}

算法二:暴力破解改良版(两个嵌套for循环,复杂度N^{2}T(N)=O(N^{^{2}})

int MaxSubseqSum1(int A[], int N) {int ThisSum=0, MaxSum = 0;int i, j, k;for (i = 0; i < N; i++) {for (j = i; j < N; j++) {ThisSum += A[j];if (ThisSum > MaxSum) {MaxSum = ThisSum;}}}return MaxSum;
}

算法三:分而治之(复杂度T(n)=O(N*log(N))

思想上,将大的问题划分为小的块,逐层划分到最小单位。行动上,从最小单位逐层解决问题,直到解决问题。

算法四:在线处理(复杂度T(n)=O(N)

int MaxSubseqSum4(int A[], int N)
{int thissum = 0, maxsum = 0;int i;for (i = 0; i < N; i++){thissum += A[i];if (thissum > maxsum)maxsum = thissum;else if (thissum < 0)thissum = 0;}return maxsum;
}

二、线性结构 

2.1 线性表及其实现

2.1.1 线性表的概念

线性表的定义

•线性表是一种数据结构,是由n(n≥0)个数据元素(a1,a2,…,an)构成的有限序列。

记作:L=(a1,a2,…,an)

a1——首元素,an——尾元素

•表的长度(表长)——线性表中数据元素的数目。

•空表——不含数据元素的线性表。

•对于线性表L=(a1,a2,…,a(i-1),ai,a(i+1),...,an),前驱和后驱:

  a(i-1)在ai之前,称a(i-1)是ai的直接前驱(1<i≤n)

  a(i+1)在ai之后,称a(i+1)是ai的直接后继(1≤i<n)

  a1没有前驱,an没有后继

  ai(1<i<n)有且仅有一个直接前驱和一个直接后继

常见线性表举例

•字母表:L1=(A,B,...,Z),表长为26

•姓名表:L2=(李明,翠菊,方宏名,王林)表长为4

•表格

2.1.2 线性表的基本操作 

线性表的基本操作函数

IniList(&L)//构造空表LListLength (L)//求表L的长度GetElem(L,i,&e)//取元素ai,由e返回aiPriorElem(L,ce,&pre_e)//求ce的前驱,由pre_e返回InsertElem(&L,i,e)//在元素ai之前插入新元素eDeleteElem(&L,i)//删除第i个元素EmptyList(L)//判断L是否为空表

删除操作:DeleteElem(&L,i)

1.删除表中的第i个数据元素(1\leq i\leq n),记作DeleteElem(&L,i)

   即删去表中第i个元素a_{i}

   (a_{1},a_{2},...,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},...,a_{n})——>(a_{1},a_{2},...,a_{i-1},a_{i+1},...,a_{n})

2.指定元素值x,删除表L中的值为x的元素,记作:DeleteElem(&L,x)

   即删去表中值为x的元素。若a_{i-1}=x,则

   (a_{1},a_{2},...,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},...,a_{n})——>(a_{1},a_{2},...,a_{i},a_{i+1},...,a_{n})

插入操作:InsertElem(&L,i,e)

在元素ai之前插入新元素e(1<=i<=n+1),记作: InsertElem(&L,i,e)

(a_{1},a_{2},...,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},...,a_{n})——>(a_{1},a_{2},...,a_{i-1},e,a_{i},a_{i+1},...,a_{n})

查找操作: 确定元素值(或数据项的值)为e的元素。

给定:L=(a1,a2,.….,ai,….,an)和元素e

若有一个ai=e,则称“查找成功”(i=1,2,…n);否则,称“查找失败”。

排序操作:按元素值或某个数据项值的递增(或递减)次序重新排列表中各元素的位置。

例:排序前:L=(90,60,80,10,20,30)

       排序后:L=(10,20,30,60,80,90)

       L变为有序表

 合并操作:将有序表L_{_{a}}L_{b}合并为有序表L_{c}

例:设有序表:La=(2,14,20,45,80)

                         Lb=(8,10,19,20,22,85,90)

           合并为表Lc=(2,8,10,14,19,20,20,22,45,80,85,90)

复制操作:将表L_{_{a}}复制为表L_{b}L_{b}

 

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