最小生成树

从一个图中，生成一个权重最小的生成树

Prim

朴素版 $O(n^2)$ 稠密图

不断重复以下过程：

• 选择与当前集合距离最近的点，加入集合
• 拓展当前集合

和Dijsktra的思想类似，每次拓展与当前集合最近的点（而不再是原点）
对应的唯一区别就是

for j in range(1, n+1):dis[j] = min(dis[j], g[t][j])

在Prim里是直接取g[t][j]，而dijsktra是取dis[t]+g[t][j]

n,m = map(int, input().split())g = [[float('inf') ] * (n+1) for _ in range(n+1)]dis = [float('inf') ]* (n+1)for i in range(m):x,y,z = map(int, input().split())g[x][y] = min(g[x][y], z)g[y][x] = g[x][y]st = [False] *(n+1)res = 0
for i in range(n):t = -1# 找到距离集合最近的点for j in range(1,n+1):if not st[j] and (t == -1 or dis[j] < dis[t]):t = jif i:res += dis[t]st[t] = Truefor j in range(1, n+1):dis[j] = min(dis[j], g[t][j])if res == float('inf'):print('impossible')
else:print(res)

优化版 $O(m\log n)$

和迪杰斯特拉的优化方式一样，使用堆来优化，改成bfs，每次取出队列中距离集合最短的点拓展。

Kruskal 稀疏图

算法流程：

• 将所有的边按权重从小到大排序
• 每次取出权重最小的边，如果两个点不属于一个集合，融合他们（并查集）

import heapqn,m = map(int, input().split())
# 首先读入所有的边，存入堆中
edges = []
for i in range(m):x,y,z = map(int, input().split())edges.append((z,x,y))heapq.heapify(edges)
# 设置n个点的并查集
s = [i for i in range(n+1)]def find(x):if s[x] != x:s[x] = find(s[x])return s[x]# 开始出堆，每次取出堆顶元素，融合集合
res = 0
cnt = 0
while edges:t = heapq.heappop(edges)z,x,y = tif find(x) != find(y):s[find(x)] = find(y)res += zcnt += 1if cnt == n-1:print(res)
else:print('impossible')