评估估计量的标准
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无偏性:若估计量( X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1,X2,⋯,Xn)的数学期望等于未知参数θ,即 E ( θ ^ ) = θ E(\hat\theta)=\theta E(θ^)=θ 则称 θ ^ \hat\theta θ^为θ的无偏估计量。 估计量 θ ^ \hat\theta θ^的值不一定就是θ的真值,因为它是一个随机变量,若 θ ^ \hat\theta θ^是θ的无偏估计,则尽管 的值随样本值的不同而变化,但平均来说它会等于θ的真值。
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有效性:
对于未知参数 θ \theta θ,如果有两个无偏估计量 θ ^ 1 \hat\theta_1 θ^1与 θ ^ 2 \hat\theta_2 θ^2,即 E ( θ ^ 1 ) = E ( θ ^ 2 ) = θ E(\hat\theta_1)=E(\hat\theta_2)=\theta E(θ^1)=E(θ^2)=θ,此时取平均偏差 E ( θ ^ − θ ) 2 E(\hat\theta-\theta)^2 E(θ^−θ)2较小的那个,即一个好的估计量尽可能应该有经可能小的方差。 设 θ ^ 1 \hat\theta_1 θ^1与 θ ^ 2 \hat\theta_2 θ^2都是未知参数 θ \theta θ的无偏估计量,若对任意的参数 θ \theta θ,有 D ( θ ^ 1 ) < D ( θ ^ 2 ) D(\hat\theta_1)<D(\hat\theta_2) D(θ^1)<D(θ^2)则称 θ ^ 1 \hat\theta_1 θ^1比 θ ^ 2 \hat\theta_2 θ^2 有效。
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一致性:
无偏性、有效性都是在样本容量n在一定的条件下进行讨论,然而( X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1,X2,⋯,Xn)不仅与样本值有关,还与样本容量n有关,n越大时,n对 θ \theta θ的估计应该越精确。如过n依赖收敛于 θ \theta