今日任务

01背包问题 二维数组

理论基础：代码随想录

题目链接：题目页面

    01 背包

    有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

    暴力解法：

        每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况
        暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化

    二维dp数组

        1 确定dp数组及含义：

            dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少

        2 递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
        3 dp数组初始化：所有dp[i][0]均为0；当 j < weight[0]的时候 dp[0][j] 是 0，当j >= weight[0]时，dp[0][j] 是value[0]
        4 确定遍历顺序：有两个遍历的维度，物品与背包重量，先遍历物品更好理解
        5 推导dp数组：如下，无参数版

void test_2_wei_bag_problem1() {vector<int> weight = {1, 3, 4};vector<int> value = {15, 20, 30};int bagweight = 4;// 二维数组vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));// 初始化for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {dp[0][j] = value[0];}// weight数组的大小 就是物品个数for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}int main() {test_2_wei_bag_problem1();
}

//二维dp数组实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空间
void solve() {vector<int> weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间vector<int> value(n, 0);  // 存储每件物品价值for(int i = 0; i < n; ++i) {cin >> weight[i];}for(int j = 0; j < n; ++j) {cin >> value[j];}// dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));// 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值// j < weight[0]已在上方被初始化为0// j >= weight[0]的值就初始化为value[0]for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {dp[0][j] = value[0];}for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历科研物品for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历行李箱容量// 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];// 如果能装下,就将值更新为 不装这个物品的最大值 和 装这个物品的最大值 中的 最大值// 装这个物品的最大值由容量为j - weight[i]的包任意放入序号为[0, i - 1]的最大值 + 该物品的价值构成else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}int main() {while(cin >> n >> bagweight) {solve();}return 0;
}

 

 

01背包问题 一维/滚动数组

理论基础：代码随想录

 题目链接：题目页面

推荐 使用一维dp数组的写法，比较直观简洁，而且空间复杂度还降了一个数量级

    在二维dp数组的基础上，其实可以把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

    这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

    滚动dp数组：

        1 dp[j]：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]
        2 递推公式：dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i；一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

• 3 初始化：都初始为0就可以了
• 4 遍历顺序：一维dp遍历的时候，背包是从大到小，倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了；两个嵌套for循环的顺序，先遍历物品嵌套遍历背包容量，不可颠倒
• 5 推导dp数组：无参数版

void test_1_wei_bag_problem() {vector<int> weight = {1, 3, 4};vector<int> value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;// 初始化vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[bagWeight] << endl;
}int main() {test_1_wei_bag_problem();
}

// 一维dp数组实现
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int main() {// 读取 M 和 Nint M, N;cin >> M >> N;vector<int> costs(M);vector<int> values(M);for (int i = 0; i < M; i++) {cin >> costs[i];}for (int j = 0; j < M; j++) {cin >> values[j];}// 创建一个动态规划数组dp，初始值为0vector<int> dp(N + 1, 0);// 外层循环遍历每个类型的研究材料for (int i = 0; i < M; ++i) {// 内层循环从 N 空间逐渐减少到当前研究材料所占空间for (int j = N; j >= costs[i]; --j) {// 考虑当前研究材料选择和不选择的情况，选择最大值dp[j] = max(dp[j], dp[j - costs[i]] + values[i]);}}// 输出dp[N]，即在给定 N 行李空间可以携带的研究材料最大价值cout << dp[N] << endl;return 0;
}

416.分割等和子集 - Medium

题目链接：力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

    给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

思路： 转换成背包容易为 1/2 数组和的 01背包问题。时间复杂度：O(n^2)，空间复杂度：O(n)，虽然dp数组大小为一个常数，但是大常数

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;// dp[i]中的i表示背包内总和// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了vector<int> dp(10001, 0);for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {sum += nums[i];}// 也可以使用库函数一步求和// int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);if (sum % 2 == 1) return false;int target = sum / 2;// 开始 01背包for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}}// 集合中的元素正好可以凑成总和targetif (dp[target] == target) return true;return false;}
};

 

今日总结

01背包是后续背包问题的基础