机器人工具箱学习（一）

一、机器人工具箱介绍

机器人工具箱是由来自昆士兰科技大学的教授Peter Corke开发的，被广泛用于机器人进行仿真（主要是串联机器人）。该工具箱支持机器人一些基本算法的功能，例如三维坐标中的方向表示，运动学、动力学模型和轨迹生成。
学习该工具箱较为经典的书籍有以下两本，其中第一本是Peter Corke教授自己编写的，为英文版，第二本是国内学者翻译的。
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二、机器人工具箱的下载和安装

2.1 机器人工具箱下载

可以在官方网站下载安装文件（点这个超链接即可跳转：机器人工具箱下载官网），如下所示：
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下载的文件名为 RTB10.4.mltbx，如下所示：

2.2 机器人工具箱安装

在matlab中打开刚刚存放RTB10.4.mltbx文件的目录，然后双击RTB10.4.mltbx文件：
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下载完毕之后，输入指令：ver，便可以查看我们所下载的机器人工具箱版本，同时也进一步确认该工具箱是否安装成功

三、机器人学中的一些数学基础

3.1 三维空间中的位置和姿态

3.1.1 位置描述

我个人简单的认为，所谓的位置描述就是点在某一个坐标系中的坐标。
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上图中，空间中任意一点在坐标系 $\left\{ A \right\}$ 中的表示为：
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其中， $p _ { x }、p _ { y }、p _ { z }$ 分别表示该点在坐标系 $\left\{ A \right\}$ 中的三个坐标。MATLAB中，利用plot3( )函数可以绘制三维空间中的一个点。例如绘制空间中点(1,2,3)：plot3(1,2,3,'*');

3.1.2 姿态描述

我个人认为，所谓的姿态描述就是表示空间中某一个物体的方位。
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如上图所示，空间中存在一个刚体，与该刚体固连的坐标系 $\left\{ B \right\}$ 。该刚体相对于坐标系 $\left\{ A \right\}$ 的姿态用姿态变换矩阵（也叫旋转矩阵） $_{B}^{A}\mathbf{\mathit{R}}$ ：
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式中， ${\mathbf{\mathit{x}}}_{A}$ 、 ${\mathbf{\mathit{y}}}_{A}$ 、 ${\mathbf{\mathit{z}}}_{A}$ 分别表示坐标系 $\left\{ A \right\}$ 三个坐标轴在某一个坐标系下的表示； ${\mathbf{\mathit{x}}}_{B}$ 、 ${\mathbf{\mathit{y}}}_{B}$ 、 ${\mathbf{\mathit{z}}}_{B}$ 分别表示坐标系 $\left\{ B \right\}$ 三个坐标轴在某一个坐标系下的表示； $^ { A }x_{ B }$ 、 $^ { A } y _ { B }$ 、 $^ { A } z _ { B }$ 表示坐标系 $\left\{ B \right\}$ 三个坐标轴在坐标系 $\left\{ A \right\}$ 上的表达。
当分别绕坐标轴 $x 、 y 、 z$ 旋转角度 $\theta$ 时，姿态变换矩阵 $R$ 可以分别表示为：
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机器人工具箱中提供rotx( )、roty( )、rotz( )函数来计算绕单个坐标轴旋转的姿态矩阵（注意：这些个函数默认角度制，但好像有的版本时默认弧度制度，注意辨别一下）：
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使用trplot( )函数可以图形化显示相应的坐标系，例如显示一个绕基坐标系的 $x$ 轴旋转60°的坐标系，如下图所示：
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使用tranimate( )函数可以显示坐标系旋转的动画，如下图所示：
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3.1.3 函数总结

（1）绕单个坐标轴旋转的旋转矩阵：rotx( )、roty( )、rotz( )函数
● rotx( )：R=rotx( $\theta$ ）表示围绕 $x$ 轴旋转角度 $\theta$ 所得到的旋转矩阵，函数返回一个3x3的矩阵；
● roty( )：R=roty( $\theta$ ）表示围绕 $y$ 轴旋转角度 $\theta$ 所得到的旋转矩阵，函数返回一个3x3的矩阵；
● rotz( )：R=rotz( $\theta$ ）表示围绕 $z$ 轴旋转角度 $\theta$ 所得到的旋转矩阵，函数返回一个3x3的矩阵；

（2）绘制坐标系：trplot( )函数
trplot( )函数的语法：trplot(R, options)
● trplot®：绘制由旋转矩阵 $R$ 得到的坐标系；
● trplot(T)：绘制由齐次变换矩阵 $T$ 表示的坐标系;
trplot( )函数的options项有其他的用法
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（3）动画展示函数：tranimate( )函数
● tranimate(x1, x2, options)：展示3D坐标系从姿态x1变换到姿态x2的动画效果其中，姿态 x1和 x2有三种表示方法:一个4X4 的齐次矩阵,或一个3x3的旋转矩阵,或一个四元数；
● tranimate(x，options)：展示了坐标系由上一个姿态变换到姿态x的动画效果。同样地，姿势x也有三种表示方法：一个4X4 的齐次矩阵，或一个 3x3 的旋转矩阵，或一个四元数；
● tranimate(xseq，options)：展示了移动一段轨迹的动画效果。xseq可以是一组4x4xN的齐次矩阵,或一组 3x3xN 的旋转矩阵,或是一组四元数向量(Nx1)。
tranimate( )函数中options的其他用法：
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3.2 坐标变换

同一个物体可以在不同的坐标系下进行描述，这之间就涉及到坐标变换

3.2.1 平移坐标变换

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如上图所示，坐标系 $\left\{ A \right\}$ 没有经过旋转，直接平移得到坐标系 $\left\{ B \right\}$ 。 $P$ 是坐标系 $\left\{ B \right\}$ 中的一点，用矢量 $^ { B } P$ 表示它在坐标系 $\left\{ B \right\}$ 中的位置，用矢量 $^ { A } P$ 表示它在坐标系 $\left\{ A \right\}$ 中的位置，则有：
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式中， $^ { A } P _ { B O R G }$ 是坐标系 $\left\{ A \right\}$ 平移的矢量。

用4x4的齐次矩阵表示由坐标系 $\left\{ A \right\}$ 到坐标系 $\left\{ B \right\}$ 的平移变换矩阵：
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其中， $B_{x}$ 、 $B_{y}$ 、 $B_{z}$ 分别表示矢量 $^ { A } P _ { B O R G }$ 的三个分量。
机器人工具箱中用transl( )函数来计算平移变换矩阵，例如：坐标系 $\left\{ A \right\}$ 的坐标（这里的坐标指代位置和姿态）表示为：
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坐标系 $\left\{ A \right\}$ 沿着 $x$ 轴移动10，沿着 $y$ 轴移动5，沿着 $z$ 轴移动1得到坐标系 $\left\{ B \right\}$ ，可以用transl(10, 5, 1)来得到平移变换矩阵。
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3.2.2 旋转坐标变换

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如上图所示，坐标系 $\left\{ A \right\}$ 没有经过平移，直接旋转（旋转矩阵为 $_{B}^{A}\mathbf{\mathit{R}}$ ）得到坐标系 $\left\{ B \right\}$ 。同一个点 $P$ 在坐标系 $\left\{ A \right\}$ 和坐标系 $\left\{ B \right\}$ 中的表达分别为 $^ { A } P$ 和 $^ { B } P$ ，两者的转换关系为：
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机器人工具箱中用trotx( )、troty( )和trotz( )函数分别表示绕 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴旋转一定角度的4x4的齐次变换矩阵：
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3.2.3 齐次坐标变换

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如上图所示，坐标系 $\left\{ A \right\}$ 经过平移（平移矢量为 $^ { A } P _ { B O R G }$ ）和旋转（旋转矩阵为 $_{B}^{A}\mathbf{\mathit{R}}$ ）得到坐标系 $\left\{ B \right\}$ ，则有：

将上式写成齐次坐标变换的形式：
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例如，坐标系 $\left\{ A \right\}$ 先绕 $y$ 轴旋转120°，然后再沿着 $x$ 轴移动4，沿着 $y$ 轴移动5，沿着 $z$ 轴移动6得到坐标系 $\left\{ B \right\}$ ：
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坐标系 $\left\{ B \right\}$ 中的矢量 $^ { B} P$ 在坐标系 $\left\{ A \right\}$ 中进行描述 $^ { A } P$ ：
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已知 $^ { A } P$ 求 $^ { B } P$ ：
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在三维坐标中画出经过齐次变换的两个坐标系：

transl( )函数可以获取齐次变换矩阵 $T$ 中的平移矢量，t2r( )函数可以获取齐次变换矩阵 $T$ 中的旋转矩阵，r2t( )函数可以根据旋转矩阵 $R$ 得到齐次变换矩阵 $T$ （只有旋转，没有移动）：
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3.2.4 函数总结

（1）平移坐标变换：transl( )函数
● 使用transl( )函数创建齐次的平移变换矩阵
1）T = transl(x，y，z)：表示能够获取一个分别沿着x轴、y轴和z轴平移一段距离得到的4X4齐次变换矩阵；
2）T= transl§：表示由经过矩阵(或向量) $\left[ x , y , z \right]$ 的平移得到的齐次变换矩阵如果 $p$ 为(Mx3)的矩阵,则 $T$ 为一组齐次变换矩阵(4x4xM)，其中 $T (:, :, i)$ 对应于 $p$ 的第 $i$ 行。
● 使用transl( )函数提取齐次矩阵 $T$ 中的平移变换分量。
（2）旋转坐标变换：trotx( )函数、troty( )函数和trotz( )函数
● T=trotx( $\theta$ ):表示围绕 $x$ 轴旋转 $\theta$ 角度得到的齐次变换矩阵(4x4)；
● T=troty( $\theta$ ):表示围绕 $y$ 轴旋转 $\theta$ 角度得到的齐次变换矩阵(4x4)；
● T=trotz( $\theta$ ):表示围绕 $z$ 轴旋转 $\theta$ 角度得到的齐次变换矩阵(4x4)；
（3）t2r( )与r2t( )函数
● R=t2r(T)：用来获取齐次变换矩阵 $T$ 中的旋转矩阵分量；
● T=r2t(R )：用来获取一个与旋转矩阵 $R$ 等价的具有零平移分量的齐次变换矩阵。