【学习笔记】树上差分总结(点差分/边差分)

一.树上差分的基本概念

1.树上差分的定义

树上差分，顾名思义，意思就是在树上做差分。

至于什么是差分呢？如果不会的同学，可以先看看我的这篇博客:一维,二维差分の详解（简单易懂）_一维差分-CSDN博客

2.树上差分能解决的问题

树上差分有什么作用？举个例子，如果题目要求对树上的一段路径进行操作，并询问某个点或某条边被经过的次数，树上差分就可以派上用场了。

类比于差分数组,树上差分利用的思想也是前缀和思想。(在这里应该是子树和思想）

树上差分，就是利用差分的性质，对路径上的重要节点进行修改（而不是暴力全改），作为其差分数组的值，最后在求值时，利用dfs遍历求出差分数组的前缀和得出答案，就可以达到降低复杂度的目的。

树上差分时需要求LCA，不会的同学可以先看看我的这篇博客:详解最近公共祖先(LCA)-CSDN博客

树上差分一般有两种类型的题目，一种是对边进行差分，另一种就是对点进行差分。

下面我将会分别讲解一下这两种问题。

二.点差分

1.思路

直接去dfs暴力加点权的话，肯定会TLE,但是我们现在在讲啥?树上差分啊!

假设需要将两点u,v之间路径上的所有点权增加x,l是lca(u,v),p是l的父亲节点，则差分操作如下：

sum[u] += x;
sum[v] += x;
sum[l] -= x;
sum[p] -= x;

举个栗子(其中假设x=1):

其中s和t就是题目中树上点权需要加1的节点的起始点，绿色的数字代表点权(已经加1了)

则操作后有：

至于为什么要这么操作呢?别急，继续往下看。

做完上述的差分操作后，我们就要统计答案了。

当我们dfs搜索到s，向上回溯。

下面以u表示当前dfs搜索到的节点。

对于每个u统计它的子树大小(要用前缀和的思想记录每个点的点权了)，顺着路径标起来。

(即sum[u] += sum[son])

我们会发现第一次从s回溯到s与t的LCA时候,sum[LCA(s,t)] += sum[son[LCA(s,t)]]

此时sum[LCA(s,t)]=0(-1+1=0)。这时我们不禁会有一个疑问: "不是LCA(s,t)会被经过一次嘛,为什么是0!"

别急,我们继续搜另一边。.

继续：我们搜索到t,向上回溯。

依旧统计每个u的子树大小sum[u]+=sum[son]

再度回到LCA(s,t)，依旧是sum[LCA(s,t)]+=sum[son[LCA(s,t)]]

这个时候 sum[LCA(s,t)]=1 这就达到了我们要的效果 (是不是特别优秀φ(゜▽゜*)♪)

但是我们还要思考一个问题:万一我们再从LCA(s,t)向上回溯的时候使得其父亲节点的子树和为1怎么办?这样我们不就使得其父亲节点被多经过了一次?

其实很简单，我们只需要在前面差分操作时将sum[fa[lca(s,t)]]-=x就行了。

这样就达到了标记我们路径上的点的要求! 是否有一种恍然大悟的感觉呢?

2.例题Max flow

问题

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,q,mx[300001][41],deep[300001],sum[300001],ans;
vector<int> vec[300001];
void dfs(int x,int fa)//lca的初始化
{deep[x] = deep[fa] + 1;mx[x][0] = fa;for(int i = 0;i < vec[x].size();i++)if(vec[x][i] != fa)dfs(vec[x][i],x);
}
int lca(int x,int y)//倍增法求lca
{if(deep[x] < deep[y]) swap(x,y);for(int i = 40;i >= 0;i--)if(deep[mx[x][i]] >= deep[y])x = mx[x][i];if(x == y) return x;for(int i = 40;i >= 0;i--)if(mx[x][i] != mx[y][i]){x = mx[x][i];y = mx[y][i];}return mx[x][0];
}
void dfss(int x,int fa)//统计答案的最大值
{for(int i = 0;i < vec[x].size();i++){int t = vec[x][i];if(t == fa) continue;dfss(t,x);sum[x] += sum[t];//在树上进行类似于前缀和的操作}ans = max(ans,sum[x]);//取最大值
}
signed main()
{cin>>n>>q;for(int i = 1;i < n;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);vec[u].push_back(v);vec[v].push_back(u);}dfs(1,0);for(int j = 1;j <= 40;j++)for(int i = 1;i <= n;i++)mx[i][j] = mx[mx[i][j - 1]][j - 1];while(q--){int u,v;cin>>u>>v;int l = lca(u,v);sum[u]++;//树上差分sum[v]++;sum[l]--;if(l != 1) sum[mx[l][0]]--;//如果l有父节点就进行后面的操作}dfss(1,0);cout<<ans;return 0;
}

三.边差分

1.思路

思想其实和点差分是一样的，我来讲一下操作。

设将两点s,t之间路径上的所有边权增加x，l=LCA(s,t)，以每条边两端深度较大的节点存储该边的差分数组，则操作如下：

sum[s] += x;
sum[t] += x;
sum[l] -= 2 * x;

举个栗子(其中假设x=1):

红色边为需要经过的边,绿色的数字代表经过次数。

但是由于我们不能储存边权，所以只能把边权塞给了点权,因此我们的图应该是这样的

这样的话我们只要把sum[s]++,sum[t]++,sum[lca(s,t)]-=2就可以实现差分操作了。

同样地，只要dfs一遍，遍历时统计以每个节点为根的树的节点的权值和，就是当前节点到父亲节点的边的最终权值了！

~~是不是很厉害~~

至于为什么点差分和边差分的操作不一样，很简单，请读者自己思考。

树上差分主要还是学习思想吧！

2.例题树上必经边--边差分

问题

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,q,mx[300001][41],deep[300001],sum[300001],ans,k;
vector<int> vec[300001];
void dfs(int x,int fa)
{deep[x] = deep[fa] + 1;mx[x][0] = fa;for(int i = 0;i < vec[x].size();i++)if(vec[x][i] != fa)dfs(vec[x][i],x);
}
int lca(int x,int y)
{if(deep[x] < deep[y]) swap(x,y);for(int i = 40;i >= 0;i--)if(deep[mx[x][i]] >= deep[y])x = mx[x][i];if(x == y) return x;for(int i = 40;i >= 0;i--)if(mx[x][i] != mx[y][i]){x = mx[x][i];y = mx[y][i];}return mx[x][0];
}
void dfss(int x,int fa)
{for(int i = 0;i < vec[x].size();i++){int t = vec[x][i];if(t == fa) continue;dfss(t,x);sum[x] += sum[t];}
}
signed main()
{cin>>n>>q>>k;for(int i = 1;i < n;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);vec[u].push_back(v);vec[v].push_back(u);}dfs(1,0);for(int j = 1;j <= 40;j++)for(int i = 1;i <= n;i++)mx[i][j] = mx[mx[i][j - 1]][j - 1];while(q--){int u,v;cin>>u>>v;int l = lca(u,v);sum[u]++;sum[v]++;sum[l] -= 2;}dfss(1,0);for(int i = 2;i <= n;i++)if(sum[i] == k)ans++;cout<<ans;return 0;
}