随机图论基础

一,随机图、随机图空间

1,随机图

一个n个点的无向图,最多有s=n(n-1)/2条边。

每条边都有一定的概率存在,有一定概率不存在,那么每个图都有一个出现概率。

2,随机图空间

一共有2^s种不同的图,每个图看作一个点,所有的图构成一组互斥事件,总概率是1,这样就构成一个概率空间,记做G(n,p)

根据这一组事件的概率分布类型,随机图空间也分为不同的类型。

二,二项分布随机图空间

1,二项分布随机图

假设每条边都有p的概率是存在的,有1-p的概率是不存在的,那么一个有k条边的图出现的概率是p^k(1-p)^{s-k}

2,二项分布随机图空间

所有有k条边的图出现的概率总和是\binom{s}{k}p^k(1-p)^{s-k}

所有图出现的概率总和是\sum _{0<=k<=s}\binom{s}{k}p^k(1-p)^{s-k}=1

3,简单规律

对于二项分布随机图空间G(n,0),空图以1的概率出现,其他图概率是0

对于二项分布随机图空间G(n,1),完全图以1的概率出现,其他图概率是0

4,条件概率空间

给定n和一个有k条边的图,对于不同的概率p,该图的出现概率p^k(1-p)^{s-k}有不同的取值。

当p=k/s时,概率p^k(1-p)^{s-k}取到最大值。

三,随机图子空间

1,随机图子空间

把随机空间中的一部分点取出来,维持原有的概率比例,乘以一个系数,使得总和仍然为1,得到的新空间称为随机图子空间

2,二项分布随机图空间的固定边数子空间

一个n个点的无向图,最多有s=n(n-1)/2条边。

一共有2^s种不同的图,其中有e条边的图一共有\binom{s}{e}种。

\binom{s}{e}种有e条边的图构成一个随机图子空间,其中每个图出现的概率都是1/\binom{s}{e}

3,随机二分图子空间

考虑完全二分图的边随机出现,得到的是一个随机二分图子空间。

四,随机图参数

随机图参数是图论特有的统计特征。

随机图参数的最可能的值就是均值附近。

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